Классические методы математической физики - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

g =
−∇G
G
rotu × u = −∇
p
ρ
+
u
2
2
+ G
, divu = 0.
u ≡ 0
rotu = 0, divu = 0,
∇
p
ρ
+
u
2
2
+ G
= 0 ⇒
p
ρ
+
u
2
2
+ G = const, ρ = const .
u
D
Γ ⊂ D
D Γ
rotu = 0
ϕ u = −gradϕ
div( gradϕ) ≡ ∆ϕ = 0
ϕ
Γ Ω Ω
u
u = −gradϕ
è ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ìàññîâàÿ ñèëà ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé, òàê ÷òî g =
−∇G, ãäå G  ïîòåíöèàë ñèëû òÿæåñòè, ïåðåïèøåì (5.29) â âèäå
                               p u2
                                        
               rotu × u = −∇     +    + G , divu = 0.           (5.30)
                               ρ   2
   Ìíîãèå òå÷åíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè ÿâëÿþòñÿ áåçâèõðåâûìè, ò. å. óäî-
âëåòâîðÿþò óñëîâèþ rotu ≡ 0. Äëÿ òàêèõ òå÷åíèé ìîäåëü (5.30) ïðèíèìàåò
âèä
                         rotu = 0, divu = 0,                     (5.31)
          p u2               p u2
                   
      ∇     +   +G =0⇒ +            + G = const, ρ = const.      (5.32)
          ρ   2              ρ    2
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü â äàííîì ñëó÷àå ðàçäå-
ëèëàñü, ò. å. ñâåëàñü ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíåíèé (5.31) äëÿ ñêîðîñòè u è
óðàâíåíèþ (5.32) äëÿ äàâëåíèÿ. Îíî íàçûâàåòñÿ â ãèäðîäèíàìèêå óðàâíå-
íèåì Áåðíóëëè.
   Íàïîìíèì, ñëåäóÿ [19, ñ.200℄, ÷òî òðåõìåðíàÿ îáëàñòü D íàçûâàåòñÿ
ïîâåðõíîñòíî-îäíîñâÿçíîé (èëè ïðîñòî îäíîñâÿçíîé), åñëè äëÿ ëþáîé êóñî÷íî-
ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé Γ ⊂ D ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îðèåíòèðóåìóþ
êóñî÷íî-ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü â D, ãðàíèöåé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ Γ. Èçâåñò-
íî [19, ñ.200℄, ÷òî óñëîâèå rotu = 0 ýêâèâàëåíòíî (ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ îä-
íîñâÿçíûõ îáëàñòåé) óñëîâèþ ïîòåíöèàëüíîñòè ïîòîêà, ò. å. ñóùåñòâîâàíèþ
òàêîé óíêöèè ϕ, íàçûâàåìîé ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòè, ÷òî u = −gradϕ.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ñîîòíîøåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå â (5.31), ïðèõîäèì ñ ó÷å-
òîì (3.18) ê óðàâíåíèþ Ëàïëàñà

                         div(gradϕ) ≡ ∆ϕ = 0                     (5.33)

äëÿ ïîòåíöèàëà ϕ. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (5.33) îáðàçóåò ìàòåìàòè÷å-
ñêóþ ìîäåëü ñòàöèîíàðíîãî áåçâèõðåâîãî äâèæåíèÿ èäåàëüíîé îäíîðîäíîé
íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à èçó÷åíèÿ ïîòåíöèàëüíî-
ãî äâèæåíèÿ èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. åøèâ åãî ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèÿõ íà ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω è íà áåñêîíå÷íîñòè, åñëè Ω  íåîãðà-
íè÷åííàÿ îáëàñòü (ñì. îá ýòîì ⠟ 3), ìû íàéäåì èñêîìóþ ñêîðîñòü u ïî
îðìóëå u = −gradϕ. Èòàê, â ýòîì ïóíêòå ïîñòðîåí ïðèìåð åùå îäíîãî
èçè÷åñêîãî ïðîöåññà, à èìåííî: ñòàöèîíàðíîãî ïîòåíöèàëüíîãî òå÷åíèÿ
èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, èññëåäîâàíèå êîòîðîãî ñâîäèòñÿ ê ðå-
øåíèþ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà.
   5.6. Ñèëà Êîðèîëèñà è ýëåìåíòû äèíàìèêè îêåàíà. Äðóãèì âàæ-
íûì ïðèìåðîì âíåøíåé ñèëû ÿâëÿåòñÿ ñèëà Êîðèîëèñà, íàçâàííàÿ â ÷åñòü


                                  57

Страницы