Классические методы математической физики - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ρ
0
c
∂T
∂t
= k∆T − u · ∇T + F, ρ
0
= const.
µ k c
F
µ
µ η
C C
D
ρ
0
C
0
Ω D
ρ C
Ω
(ρ −ρ
0
)g ρ − ρ
0
ρ = ρ
0
+ ρ
0
α
C
(C − C
0
)
α
C
> 0
3
/
f
C
f
C
= ρ
0
α
C
(C − C
0
)g.
C
C
η =
ρ
0
∂u
∂t
+ ρ
0
(u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρ
0
f + ρ
0
α
C
(C −C
0
)g, divu = 0,
∂C
∂t
= η∆C −u · ∇C + F
C
, ρ
0
= const.
                     ∂T
                   ρ0 c = k∆T − u · ∇T + F, ρ0 = const.             (5.25)
                     ∂t
Ìîäåëü (5.25) îïèñûâàåò ïðîöåññ äâèæåíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé òåïëî-
ïðîâîäíîé æèäêîñòè. Óêàçàííàÿ ìîäåëü, íàçûâàåìàÿ ìîäåëüþ Îáåðáåêà-
Áóññèíåñêà, áûëà âûâåäåíà íàìè ïðè èñïîëüçîâàíèè òàê íàçûâàåìîãî ïðè-
áëèæåíèÿ Áóññèíåñêà. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèáëèæåíèþ èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè
â æèäêîñòè, âûçûâàåìûå íàëè÷èåì ãðàäèåíòîâ òåìïåðàòóðû, ó÷èòûâàþòñÿ
â ñîîòâåòñòâèè ñ òåðìîäèíàìè÷åñêèì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ ëèøü â çàïèñè
äîïîëíèòåëüíîé îáúåìíîé ñèëû  ñèëû ïëàâó÷åñòè, â âèäå (5.24). Êðîìå
òîãî, êîýèöèåíòû µ, k è c ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè, à äèññèïàòèâíàÿ
óíêöèÿ Fµ â (4.22), îïèñûâàþùàÿ âëèÿíèå âÿçêîñòè æèäêîñòè íà òåïëî-
âûå ïðîöåññû, ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Åñëè îòáðîñèòü ïîñëåäíåå ïðåäïî-
ëîæåíèå, òî óðàâíåíèå äëÿ òåìïåðàòóðû â (5.25) ñëåäóåò çàìåíèòü áîëåå
ñëîæíûì óðàâíåíèåì, èìåþùèì âèä (4.23), (4.22).
    êà÷åñòâå âòîðîé ìîäåëè âûâåäåì ìîäåëü ïåðåíîñà âåùåñòâà (íàïðèìåð,
çàãðÿçíÿþùåé ïðèìåñè) â âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Êàê è âûøå, âîñ-
ïîëüçóåìñÿ ïðèáëèæåíèåì Áóññèíåñêà. Ñîãëàñíî åìó êîýèöèåíòû âÿçêî-
ñòè è äèóçèè µ è η ñ÷èòàþòñÿ êîíñòàíòàìè, òîãäà êàê ñèëà ïëàâó÷åñòè,
âîçíèêàþùàÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ñðåäû, âûçûâàåìîãî íàëè÷èåì
âåùåñòâà ñ êîíöåíòðàöèåé C , ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé óíêöèåé îò C . Äëÿ âû-
âîäà âûðàæåíèÿ ýòîé ñèëû ðàññìîòðèì îáëàñòü D æèäêîñòè ïîñòîÿííîé
ïëîòíîñòè ρ0 , â êîòîðîé íàõîäèòñÿ âåùåñòâî ñ ïîñòîÿííîé êîíöåíòðàöèåé
C0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé ÷àñòè Ω îáëàñòè D ïðîèçîøëî èçìå-
íåíèå êîëè÷åñòâà âåùåñòâà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïëîòíîñòü è êîíöåíòðàöèÿ
ïðèíÿëè çíà÷åíèÿ, ðàâíûå ρ è C . Òîãäà ñî ñòîðîíû îñòàâøåéñÿ æèäêîñòè
íà îáëàñòü Ω áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà ïëàâó÷åñòè, îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü êî-
òîðîé ðàâíà (ρ − ρ0 )g. Åñëè ðàçíîñòü ρ − ρ0 ìàëà, òî óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ
ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ρ = ρ0 + ρ0 αC (C − C0 ) [15, ñ.264℄. Çäåñü ïà-
ðàìåòð αC > 0, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ì3 /êã, íîñèò íàçâàíèå îáúåìíîãî
êîýèöèåíòà ìàññîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáúåìíóþ
ïëîòíîñòü fC ñèëû ïëàâó÷åñòè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
                             fC = ρ0 αC (C − C0 )g.                   (5.26)
Âûðàæåíèå (5.26) ñëåäóåò äîáàâèòü â óðàâíåíèå (5.23). Ïîñêîëüêó (5.26)
ñîäåðæèò íåèçâåñòíóþ â îáùåì ñëó÷àå êîíöåíòðàöèþ C , òî äëÿ çàìûêà-
íèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäåëè ê íåé íåîáõîäèìî ïðèñîåäèíèòü óðàâíåíèå
äëÿ êîíöåíòðàöèè C .  êà÷åñòâå åãî ñëåäóåò âçÿòü óðàâíåíèå (4.27) ïðè
η = onst.  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè:
        ∂u
   ρ0      + ρ0 (u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρ0 f + ρ0 αC (C − C0 )g, divu = 0,
        ∂t
                     ∂C
                        = η∆C − u · ∇C + FC , ρ0 = const.             (5.27)
                     ∂t
                                      55

Страницы