Классические методы математической физики - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

µ∆u.
∆u
∆u = ∆ui + ∆vj + ∆wk
µ
· µ
x ∈ D
ρ
∂u
∂t
+ ρ(u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρf,
M
1
M
5
M
6
M
7
ρ
∂u
∂t
+ ρ(u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρf,
∂ρ
∂t
+ div( ρu) = 0, p = P (ρ),
    çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî âñå ïÿòü ïîñòðîåííûõ ìîäåëåé ñîäåðæàò
äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ëèøü ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ýòî íå ñëó÷àéíî,
ïîñêîëüêó ïðè èõ âûâîäå ìû ïðåíåáðåãàëè äåéñòâèåì ýåêòîâ âÿçêîñòè,
òåïëîïðîâîäíîñòè è õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ âûðàæå-
íèÿìè, ñîäåðæàùèìè ïðîèçâîäíûå âòîðîãî è áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà îò
èñêîìûõ óíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, âñå ïîñòðîåííûå â ï. 5.3 ìîäåëè îòíî-
ñÿòñÿ ê èäåàëüíîé æèäêîñòè, â êîòîðîé âíóòðåííèå ñèëû ñîñòîÿò èç ñèë
äàâëåíèÿ. Â ýòîì ñìûñëå âñå óêàçàííûå ìîäåëè îïèñûâàþò èäåàëüíûé ãèä-
ðîäèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ (ñð. ñ ï. 1 Ÿ 1).
   5.4. Ìîäåëè äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè. Ìîäåëè èäåàëüíîé æèä-
êîñòè ÿâëÿþòñÿ âåñüìà ïðèáëèæåííûìè, ïîñêîëüêó â ðåàëüíûõ æèäêîñòÿõ
âñåãäà ïðèñóòñòâóåò òðåíèå, âûçûâàåìîå íàëè÷èåì âÿçêîñòè â æèäêîñòè.
Íàëè÷èå âÿçêîñòè â æèäêîñòè ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ äîïîëíèòåëü-
íîé âíóòðåíåé ñèëû (ïðåïÿòñòâóþùåé äâèæåíèþ æèäêîñòè). Åå îáú¼ìíàÿ
ïëîòíîñòü ÷àñòî ìîäåëèðóåòñÿ âûðàæåíèåì [40℄:
                                  µ∆u.                            (5.22)
Çäåñü ∆u  âåêòîðíûé ëàïëàñèàí îò ñêîðîñòè u, îïðåäåëÿåìûé, â ÷àñòíî-
ñòè, â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îðìóëîé ∆u = ∆ui + ∆vj + ∆wk,
µ  ïîñòîÿííûé êîýèöèåíò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè, èìåþùèé ðàçìåð-
íîñòü êã/ì·ñåê.  îáùåì ñëó÷àå êîýèöèåíò µ ìîæåò çàâèñåòü êàê îò
òî÷åê x ∈ D, òàê è îò íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèê ñðåäû, íàïðèìåð, òåìïå-
ðàòóðû, ïðè÷åì âûðàæåíèå äëÿ ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ èìååò áîëåå ñëîæíûé
âèä, ÷åì â (5.22) (ñì., íàïðèìåð, [40℄). Îäíàêî ðàññìîòðåíèå áîëåå ñëîæ-
íûõ ìîäåëåé âûõîäèò çà ðàìêè äàííîé êíèãè. Äîáàâèâ âûðàæåíèå (5.22) â
ïðàâóþ ÷àñòü îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè (5.14),
ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
                    ∂u
                   ρ   + ρ(u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρf,             (5.23)
                    ∂t
ïðåäñòàâëÿþùåìó ñîáîé îñíîâíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè.
Îíî íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì óðàâíåíèåì Íàâüå-Ñòîêñà â ÷åñòü ðàíöóç-
ñêîãî èíæåíåðà A. Navier (17851836) è àíãëèéñêîãî èçèêà G.G. Stokes
(18191903), ìíîãî ñäåëàâøèõ äëÿ ñòàíîâëåíèÿ è ðàçâèòèÿ ãèäðîäèíàìèêè
âÿçêîé æèäêîñòè.
   Çàìåíèâ â ìîäåëÿõ M1 è M5 èäåàëüíûõ æèäêîñòåé óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
èäåàëüíîé æèäêîñòè (5.14) óðàâíåíèåì (5.23), ìû ïîëó÷èì åùå äâå ìàòå-
ìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàþùèå äâèæåíèå âÿçêîé æèäêîñòè: ìîäåëü M6
âÿçêîé áàðîòðîïíîé æèäêîñòè è ìîäåëü M7 âÿçêîé íåñæèìàåìîé îäíîðîä-
íîé æèäêîñòè. Îíè îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿìè
       ∂u                               ∂ρ
   ρ      + ρ(u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρf,    + div(ρu) = 0, p = P (ρ),
       ∂t                               ∂t
                                   53

Страницы