Классические методы математической физики - 49 стр.

Ω. Âàæíûì ïðèìåðîì âíåøíèõ ñèë ÿâëÿåòñÿ ñèëà òÿæåñòè, ìàññîâàÿ ïëîò-
íîñòü êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ â âûáðàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
îðìóëîé
                            g = (0, 0, −g).                     (5.7)
Çäåñü g  óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Åãî âåëè÷èíà íà ñðåäíèõ øèðîòàõ
                          2
ðàâíà ïðèìåðíî 9,8 ì/ñåê . ßñíî, ÷òî ñèëà òÿæåñòè, äåéñòâóþùàÿ íà ýëå-
ìåíòàðíûé îáúåì dx, ðàâíà ρgdx. Äðóãèì ïðèìåðîì âíåøíåé ñèëû, èãðà-
þùåé âàæíóþ ðîëü ïðè èçó÷åíèè ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â îêåàíå,
ÿâëÿåòñÿ ñèëà Êîðèîëèñà. å÷ü î íåé ïîéäåò â ï. 5.6.
   Îáðàòèâøèñü ê àíàëèçó âíóòðåííèõ ñèë, çàìåòèì, ÷òî îíè ñóùåñòâåííî
çàâèñÿò îò õàðàêòåðà æèäêîñòè. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â ýòîì ïóíêòå
èäåàëüíóþ æèäêîñòü, ò. å. òàêóþ ñïëîøíóþ ñðåäó, â êîòîðîé âíóòðåííèå
ñèëû ñâîäÿòñÿ ê äàâëåíèþ, ïðè÷åì íåçàâèñèìî îò òîãî, íàõîäèòñÿ ëè ñðåäà
â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ èëè äâèæåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âûäåëèòü
â æèäêîñòè íåêîòîðóþ îáëàñòü Ω, îãðàíè÷åííóþ ïîâåðõíîñòüþ Γ, òî äåé-
ñòâèå íà íåå îñòàëüíîé ÷àñòè æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ ñèëîé, íàïðàâëåííîé
â êàæäîé òî÷êå x ∈ Γ ïî âíóòðåííåé íîðìàëè. Ïðè ýòîì ñàìà âåëè÷èíà p
äàâëåíèÿ, ïðèõîäÿùåãîñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè, çàâèñèò íå îò îðèåíòàöèè
òîé áåñêîíå÷íî ìàëîé ïëîùàäêè, ê êîòîðîé äàâëåíèå ïðèëîæåíî, à ëèøü
îò åå êîîðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì, íà ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS â èäåàëüíîé
æèäêîñòè äåéñòâóåò ñèëà

              −pndS = −(p cos αi + p cos βj + p cos γk)dS,        (5.8)

ãäå cos α, cos β, cos γ  íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âíåøíåé íîðìàëè n. Çíàê
 − â (5.8) âûáðàí â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå äàâëåíèå äåéñòâóåò
â íàïðàâëåíèè âíóòðåííåé íîðìàëè. Íà âñþ îáëàñòü Ω áóäåò äåéñòâîâàòü
ñèëà, ðàâíàÿ ïîâåðõíîñòíîìó èíòåãðàëó
                                                              
        Z                 Z           Z             Z
      − pndS = −  p cos αdSi + p cos βdSj + p cos γdSk ,
       Γ             Γ               Γ              Γ

êîòîðûé ñ ïîìîùüþ îðìóëû (4.3) ìîæíî ñâåñòè ê òðîéíîìó èíòåãðàëó
                             Z
                           − ∇pdx.                             (5.9)
                                Ω

Ôîðìóëà (5.9) îçíà÷àåò, ÷òî îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü âíóòðåííèõ ñèë â èäåàëü-
íîé æèäêîñòè ðàâíà −∇p. Èç (5.9) è ïðåäûäóùèõ ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò, ÷òî
îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ñèë, äåéñòâóþùèõ â èäåàëüíîé æèäêîñòè, èìååò âèä

                              −∇p + ρf,                          (5.10)

                                    49