Классические методы математической физики - 60 стр.

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ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u p ρ f
P (ρ)
ρ
f = 0
u = 0 ρ p
∂ρ
∂t
= 0 ⇒ ρ = ρ
0
(x), ∇p = 0 ⇒ p = p
0
(t),
p = P(ρ) ⇒ p = p
0
= const, ρ = ρ
0
= const .
u = u
′
, p = p
0
+ p
′
, ρ = ρ
0
+ ρ
′
,
|u
′
|, p
′
ρ
′
p
0
ρ
0
∂ρ
0
/∂t = 0 ∇p
0
= 0
∂ρ
′
∂t
+ u
′
· ∇ρ
′
+ ρ
0
divu
′
+ ρ
′
divu
′
= 0,
ρ
0
∂u
′
∂t
+ ρ
′
∂u
′
∂t
+ ρ
0
(u
′
· ∇)u
′
+ ρ
′
(u
′
· ∇)u
′
= −∇p
′
.
∂ρ
′
∂t
+ ρ
0
divu
′
= 0, ρ
0
∂u
′
∂t
= −∇p
′
.
ρ
′
p
′
P (ρ)
ρ
0
P (ρ
0
) = p
0
p = P ( ρ
0
) +
dP
dρ
|
ρ=ρ
0
(ρ − ρ
0
) + O[(ρ − ρ
0
)
2
] ≈ p
0
+
dP
dρ
|
ρ=ρ
0
ρ
′
.
dP/dρ
c
2
= (dP/dρ)|
ρ=ρ
0
.
Çäåñü çàïèñàíû ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè, ñîõðàíåíèÿ èì-
ïóëüñà è ñîñòîÿíèÿ, ãäå u  ñêîðîñòü, p  äàâëåíèå, ρ  ïëîòíîñòü, f 
ìàññîâàÿ ïëîòíîñòü âñåõ âíåøíèõ ñèë, P (ρ)  çàäàííàÿ óíêöèÿ ïëîòíî-
ñòè ρ.
   àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà f = 0 è æèäêîñòü íàõîäèòñÿ â ïîêîå:
u = 0. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïàðàìåòðû ρ è p æèäêî-
ñòè ïîñòîÿííû. Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èâ ýòè âåëè÷èíû â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ
íóëåâûì èíäåêñîì âíèçó, èìååì èç (6.1)(6.3), ÷òî
               ∂ρ
                  = 0 ⇒ ρ = ρ0 (x), ∇p = 0 ⇒ p = p0(t),                        (6.4)
               ∂t
                p = P (ρ) ⇒ p = p0 = const, ρ = ρ0 = const.
  àññìîòðèì äàëåå äâèæåíèå æèäêîñòè, âîçíèêàþùåå ïðè ìàëîì âîçìó-
ùåíèè óêàçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñ ýòîé öåëüþ ïðåäñòàâèì ãèäðî-
äèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû æèäêîñòè â âèäå
                        u = u′ , p = p0 + p′ , ρ = ρ0 + ρ′ ,                   (6.5)
ïðè÷åì âåëè÷èíû |u′ |, p′ è ρ′ áóäåì ñ÷èòàòü ìàëûìè âìåñòå ñ èõ ïðîèçâîä-
íûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ p0 è ρ0 . Ïîäñòàâëÿÿ (6.5) â óðàâíåíèÿ (6.1) è (6.2),
áóäåì èìåòü ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ ∂ρ0 /∂t = 0, ∇p0 = 0, ÷òî
                      ∂ρ′
                          + u′ · ∇ρ′ + ρ0 divu′ + ρ′ divu′ = 0,
                      ∂t
              ∂u′    ′ ∂u
                          ′
           ρ0     +ρ        + ρ0 (u′ · ∇)u′ + ρ′ (u′ · ∇)u′ = −∇p′.
              ∂t       ∂t
Ïðåíåáðåãàÿ â ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ âåëè÷èíàìè âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèÿì
                        ∂ρ′          ′        ∂u′
                            + ρ0 divu = 0, ρ0     = −∇p′.                      (6.6)
                        ∂t                    ∂t
    ñèëó óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (6.3) âåëè÷èíû ρ′ è p′ äîëæíû áûòü ñâÿçàíû
äðóã ñ äðóãîì. ×òîáû ïîëó÷èòü óêàçàííóþ ñâÿçü, ðàçëîæèì óíêöèþ P (ρ)
â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè ρ0 ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè. Ó÷èòûâàÿ â ñèëó (6.4), ÷òî P (ρ0 ) = p0 , áóäåì èìåòü
                     dP                                        dP
     p = P (ρ0 ) +      |ρ=ρ0 (ρ − ρ0 ) + O[(ρ − ρ0 )2] ≈ p0 +    |ρ=ρ0 ρ′ .   (6.7)
                     dρ                                        dρ
Âåëè÷èíà dP/dρ âñåãäà ñóùåñòâåííî ïîëîæèòåëüíà, òàê êàê ïëîòíîñòü ðàñ-
òåò ñ óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ è íàîáîðîò.  ñèëó ýòîãî ìîæíî ïîëîæèòü
                                 c2 = (dP/dρ)|ρ=ρ0 .                           (6.8)

                                          60

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