Классические методы математической физики - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

p
′
= c
2
ρ
′
.
u
′
, p
′
ρ
′
ρ
0
∂u
∂t
= −∇p,
∂p
∂t
+ ρ
0
c
2
divu = 0,
εf ε
u, p ρ u = εu
′
p = p
0
+ εp
′
ρ = ρ
0
+ ερ
′
u
′
, p
′
ρ
′
O(ε
2
) O(ε
3
)
ρ
0
∂u
∂t
= −∇p + ρ
0
f.
u
′
, p
′
ρ
′
u, v, w u
p
u = (u, v, w), p ρ = p/c
2
Ñ ó÷åòîì (6.8) è (6.5) ðàâåíñòâî (6.7) ïðèìåò âèä

                                     p′ = c2 ρ′ .                     (6.9)

Ïîäñòàâëÿÿ (6.9) â (6.6) è îïóñêàÿ (äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé) â äàëüíåé-
øåì øòðèõè íàä u′, p′ è ρ′ , ïðèõîäèì ê èñêîìîé ñèñòåìå óðàâíåíèé
                                     ∂u
                                ρ0      = −∇p,                       (6.10)
                                     ∂t
                            ∂p
                               + ρ0 c2 divu = 0,                    (6.11)
                            ∂t
êîòîðàÿ è îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå ìàëûõ âîçìóùåíèé, ò.å. çâóêîâûõ
âîëí, â æèäêîñòè.
   àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà â ñðåäå ïðèñóòñòâóþò âíåøíèå ñèëû
ñ ïëîòíîñòüþ εf , ãäå ε  ìàëûé ïàðàìåòð, à f èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë
ìàññîâîé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé â ñðåäå.
 ýòîì ñëó÷àå, ñëåäóÿ òåîðèè âîçìóùåíèé, ïðåäñòàâèì ãèäðîäèíàìè÷åñêèå
ïàðàìåòðû u, p è ρ â ñðåäå â âèäå u = εu′, p = p0 + εp′, ρ = ρ0 + ερ′ , ãäå
âåëè÷èíû u′, p′ è ρ′ èìåþò òîò æå ñìûñë, ÷òî è â (6.5). Ïîäñòàâëÿÿ ýòè
ñîîòíîøåíèÿ â (6.1)(6.3) è îòáðàñûâàÿ ñëàãàåìûå ïîðÿäêîâ O(ε2 ) è O(ε3 ),
ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç (6.9)(6.11) çàìåíîé
óðàâíåíèÿ (6.10) óðàâíåíèåì
                                ∂u
                           ρ0      = −∇p + ρ0 f.                     (6.12)
                                ∂t
(Ìû îïÿòü îïóñêàåì øòðèõè íàä u′, p′ è ρ′ ). Ïîäðîáíûé âûâîä óðàâíåíèÿ
(6.12) ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [3, ñ.21℄.
   Ñèñòåìà (6.11), (6.12) ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé äëÿ ÷å-
òûðåõ ñêàëÿðíûõ óíêöèé: òðåõ êîìïîíåíò u, v, w âåêòîðà u è óíêöèè
p, è ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì ëèíåàðèçàöèè íåëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ãèäðî-
äèíàìèêè (6.1)(6.3). Ëèíåàðèçàöèÿ âîçìîæíà, ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðè-
âàåì ðàñïðîñòðàíåíèå ìàëûõ âîçìóùåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ
â æèäêîñòè. Óêàçàííóþ ñèñòåìó (6.11), (6.12) íàçûâàþò ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà â æèäêîñòè èëè ïðîñòî ñèñòåìîé óðàâíå-
íèé ëèíåéíîé àêóñòèêè, à âåëè÷èíû u = (u, v, w), p è ρ = p/c2 íîñÿò
íàçâàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðà êîëåáàòåëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèö, çâóêî-
âîãî äàâëåíèÿ è çâóêîâîé ïëîòíîñòè.
  6.2. Âîëíîâîå óðàâíåíèå äëÿ çâóêîâîãî äàâëåíèÿ. Ïîñòàíîâ-
êà íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.           Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñèñòå-
ìà óðàâíåíèé (6.11), (6.12) íåóäîáíà äëÿ ïðîâåäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíà-
ëèçà, ïîñêîëüêó îíà ñîäåðæèò ÷åòûðå ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèÿ äëÿ ÷åòûðåõ
íåèçâåñòíûõ óíêöèé, ñâÿçàííûõ äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç êîýèöèåíòû. Â

                                         61

Страницы