Классические методы математической физики - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

p
c
2
div ∂/∂t
u p
∂
2
p
∂t
2
= c
2
∆p + F,
F = −ρ
0
c
2
divf .
F = 0
c
x, y, z
∂
2
p
∂t
2
= c
2
∂
2
p
∂x
2
+
∂
2
p
∂y
2
+
∂
2
p
∂z
2
+ F.
p
Ω
R
3
Ω = R
3
R
3
p|
t=0
= p
0
(x),
∂p
∂t
|
t=0
= p
1
(x), x ∈ Ω.
p
0
p
1
x ∈ Ω
Ω 6=
R
3
Γ Ω
ap + b
∂p
∂n
= g
Γ,
a, b g Γ t
ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå óäîáíåå ðàáîòàòü ñ îäíèì óðàâíåíèåì, ñîäåðæàùèì
îäíó íåèçâåñòíóþ óíêöèþ, íàïðèìåð, çâóêîâîå äàâëåíèå p. ×òîáû ïîëó-
÷èòü ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå, ïðèìåíèì ê óðàâíåíèþ (6.12) îïåðàöèþ
c2 div, à ê (6.11)  îïåðàöèþ ∂/∂t (â ïðåäïîëîæåíèè äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè
óíêöèé u è p) è âû÷òåì äðóã èç äðóãà ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ. Èñïîëü-
çóÿ (3.18), ïîëó÷èì óðàâíåíèå

                              ∂ 2p
                                 2
                                   = c2 ∆p + F,                     (6.13)
                              ∂t
ãäå
                              F = −ρ0 c2 divf.                      (6.14)
   Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïðèðîäà óðàâíåíèÿ (6.13) òàêîâà, ÷òî îíî îïèñûâàåò
ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí (ñì. ãë. 3.). Ïîýòîìó óðàâíåíèå (6.13) íà-
çûâàþò âîëíîâûì óðàâíåíèåì, îäíîðîäíûì ïðè F = 0 è íåîäíîðîäíûì â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êîýèöèåíò c â íåì èçè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò â íàøåì ñëó÷àå
ñìûñë ñêîðîñòè çâóêà. Ââèäó ýòîãî óðàâíåíèå (6.13) ìîæíî íàçâàòü âîë-
íîâûì óðàâíåíèåì àêóñòèêè. Â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x, y, z
óðàâíåíèå (6.13) èìååò âèä

                    ∂ 2p
                              2
                              ∂ p ∂ 2p ∂ 2p
                                             
                           2
                         =c      +     +       + F.              (6.15)
                    ∂t2       ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
   Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à íàõîæäåíèÿ çâóêîâîãî äàâëåíèÿ p ñâîäèòñÿ ê íà-
õîæäåíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.13), ðàññìàòðèâàåìîãî â îáëàñòè Ω ïðî-
ñòðàíñòâà R3 , ãäå èçó÷àåòñÿ çâóêîâîé ïðîöåññ. Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííî-
ãî ðåøåíèÿ ê óðàâíåíèþ (6.13) íåîáõîäèìî äîáàâèòü íà÷àëüíûå è êðàåâûå
óñëîâèÿ. Åñëè Ω = R3 , òàê ÷òî ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêà ðàññìàòðè-
âàåòñÿ âî âñåì ïðîñòðàíñòâå R3 , çàäàþòñÿ ëèøü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
                                    ∂p
                  p|t=0 = p0 (x),      | = p1 (x), x ∈ Ω.           (6.16)
                                    ∂t t=0
Çäåñü p0 è p1  íåêîòîðûå çàäàííûå óíêöèè òî÷åê x ∈ Ω, à çàäà÷à (6.13),
(6.16) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (6.13).  ñëó÷àå, êîãäà Ω 6=
R3 , ê íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ñëåäóåò äîáàâèòü ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ãðàíèöå
Γ îáëàñòè Ω, èìåþùåå â îáùåì ñëó÷àå âèä
                                     ∂p
                            ap + b      = g íà Γ,                   (6.17)
                                     ∂n
ãäå a, b è g  íåêîòîðûå çàäàííûå óíêöèè òî÷åê ãðàíèöû Γ è âðåìåíè t.
    ñîîòâåòñòâèè ñ òåðìèíîëîãèåé, ââåäåííîé ⠟ 3, çàäà÷à (6.13), (6.16),
(6.17) íàçûâàåòñÿ ïåðâîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé èëè çàäà÷åé Äèðèõëå

                                       62

Страницы