Классические методы математической физики - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

rotu = 0 Ω × (0, T ),
∂
2
u
∂t
2
= c
2
∆u +
∂f
∂t
.
(1/ρ
0
)
t p = 0
∂(rotu)
∂t
= rotf ⇒ rotu(x, t) = r otu(x, 0) +
t
Z
0
rotf(x, τ)dτ.
u(x, 0 ) ≡ 0 Ω f ≡ 0 Ω × ( 0, T )
u
Ω
Ω = R
3
u
ϕ u
u = −gradϕ.
ϕ
ϕ(x, t) = −
Z
L
u · tds.
L
x
0
Ω t
L ϕ
t
ϕ
u
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ïîëå   u   ÿâëÿåòñÿ áåçâèõðåâûì, ò. å.
                              rotu = 0 â Ω × (0, T ),                         (6.21)
òî óðàâíåíèå (6.20) ïðèíèìàåò âèä âåêòîðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
                               ∂ 2u          ∂f
                                  2
                                    = c2 ∆u + .                               (6.22)
                               ∂t            ∂t
  Óêàæåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (6.21).
Ñ ýòîé öåëüþ ïðèìåíèì îïåðàòîð (1/ρ0)rot ê (6.12) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî-
ëó÷åííîå âûðàæåíèå ïî t. Ïîñêîëüêó â ñèëó (3.18) rotgradp = 0, òî áóäåì
èìåòü
                                                        Zt
     ∂(rotu)
             = rotf ⇒ rotu(x, t) = rotu(x, 0) +              rotf(x, τ )dτ.   (6.23)
       ∂t
                                                        0

àâåíñòâî (6.23) ïîêàçûâàåò, ÷òî äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âû-
ïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (6.21), èìåþò âèä
   (i) rotu(x, 0) ≡ 0 â Ω, (ii) rotf ≡ 0 â Ω × (0, T ).
   Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå (6.22) íà ïðàêòèêå èñïîëüçóåòñÿ î÷åíü
ðåäêî, äà â ýòîì è íåò íåîáõîäèìîñòè, ïîñêîëüêó â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ
êîëåáàòåëüíóþ ñêîðîñòü u ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç åå ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì â äîïîëíåíèå ê (i), (ii), ÷òî âûïîëíÿåòñÿ åùå
îäíî óñëîâèå:
   (iii) Ω  îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü.
   Óñëîâèå (iii) çàâåäîìî âûïîëíÿåòñÿ, åñëè Ω = R3 . Êàê óæå óêàçûâàëîñü
â ï. 5.5, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (iii) óñëîâèå (6.21) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ
ïîòåíöèàëüíîñòè ïîëÿ u [19, ñ. 200℄. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå
òàêîé óíêöèè ϕ, íàçûâàåìîé àêóñòè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ïîëÿ u, ÷òî
                                  u = −gradϕ.                                 (6.24)
Ïðè ýòîì ϕ ìîæíî ââåñòè ïî îðìóëå
                                   Z
                        ϕ(x, t) = − u · tds.                                  (6.25)
                                             L

Çäåñü L  ïðîèçâîëüíàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ èêñèðî-
âàííóþ òî÷êó x0 ñ ïåðåìåííîé òî÷êîé x îáëàñòè Ω, t  åäèíè÷íûé âåêòîð
êàñàòåëüíîé ê êðèâîé L. ßñíî â ñèëó îðìóëû (6.24), ÷òî ïîòåíöèàë ϕ
îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîé óíêöèè îò t.
   Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî çíàíèå àêóñòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ϕ ïîçâîëÿåò îïðå-
äåëèòü íå òîëüêî ñêîðîñòü u ïî îðìóëå (6.24), íî è çâóêîâîå äàâëåíèå

                                        64

Страницы