Классические методы математической физики - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

p ψ :
Ω → R
χ : Ω × (0, T ) → R
u(x, 0) = −gradψ, f = −gradχ.
∂u
∂t
= −∇
p
ρ
0
+ χ
.
t
u(x, t) = u(x, 0)−∇
t
Z
0
p
ρ
0
+ χ
dτ = −∇
ψ +
t
Z
0
p
ρ
0
+ χ
dτ
.
ϕ
t
ϕ = ψ +
t
Z
0
p
ρ
0
+ χ
dτ.
t
p = ρ
0
∂ϕ
∂t
− χ
,
p ϕ
ϕ
t div
∂p
∂t
= ρ
0
∂
2
ϕ
∂t
2
−
∂χ
∂t
, divu = −∆ϕ.
ρ
0
ϕ
∂
2
ϕ
∂t
2
= c
2
∆ϕ +
∂χ
∂t
.
u, p ρ ϕ
p. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó óñëîâèé (i)(iii) ñóùåñòâóþò òàêèå óíêöèè ψ :
Ω → R è χ : Ω × (0, T ) → R, ÷òî
                     u(x, 0) = −gradψ, f = −gradχ.                   (6.26)

Ñ ó÷åòîì (6.26) óðàâíåíèå (6.12) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
                                          
                          ∂u          p
                              = −∇       +χ .
                          ∂t          ρ0
Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ïî t, áóäåì èìåòü
                       Zt                      Zt 
                                                              
                                                          
                            p                        p
 u(x, t) = u(x, 0) − ∇         + χ dτ = −∇ ψ +         + χ dτ  . (6.27)
                            ρ0                       ρ0
                      0                                 0

Èç (6.24), (6.27) âûòåêàåò, ÷òî èñêîìûé ïîòåíöèàë ϕ îïðåäåëÿåòñÿ (ñ òî÷-
íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîé óíêöèè îò t) îðìóëîé
                                 Zt             
                                           p
                          ϕ=ψ+                + χ dτ.                (6.28)
                                           ρ0
                                  0

Äèåðåíöèðóÿ (6.28) ïî t, ïðèõîäèì ê èñêîìîé îðìóëå
                                       
                                   ∂ϕ
                          p = ρ0      −χ ,                           (6.29)
                                   ∂t
ïîçâîëÿþùåé îïðåäåëèòü äàâëåíèå p ïî ïîòåíöèàëó ϕ.
   Èñïîëüçóÿ îðìóëû (6.29) è (6.24), íåòðóäíî âûâåñòè äèåðåíöèàëü-
íîå óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò ïîòåíöèàë ϕ. Äåéñòâèòåëüíî, äè-
åðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (6.29) ïî t è ïðèìåíÿÿ îïåðàöèþ div ê
(6.24), èìååì              2       
                  ∂p       ∂ ϕ ∂χ
                     = ρ0      −       , divu = −∆ϕ.             (6.30)
                  ∂t       ∂t2   ∂t
   Ïîäñòàâëÿÿ (6.30) â óðàâíåíèå (6.11), ïðèõîäèì ïîñëå äåëåíèÿ íà ρ0 ê
èñêîìîìó âîëíîâîìó óðàâíåíèþ äëÿ ïîòåíöèàëà ϕ:
                            ∂ 2ϕ           ∂χ
                               2
                                 = c2 ∆ϕ +    .                      (6.31)
                            ∂t             ∂t
åøèâ óðàâíåíèå (6.31) ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ óñëî-
âèÿõ, äàëåå ïî îðìóëàì (6.24), (6.29) è (6.9) ìîæíî îïðåäåëèòü âñå àêóñòè-
÷åñêèå âåëè÷èíû: u, p è ρ. Òàêèì îáðàçîì, çíàíèå ïîòåíöèàëà ϕ ïîçâîëÿåò
îïðåäåëèòü âñå õàðàêòåðèñòèêè çâóêîâîãî ïîëÿ. Ïðè ýòîì äëÿ íàõîæäåíèÿ

                                      65

Страницы