Классические методы математической физики - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

a = 1 b = 0
a = 0 b = 1 b = 1 a 6≡ 0
Ω = R
n
n = 1, 2, 3 Ω
R
R
2
R
3
F
g
p
0
p
1
F = 0 g = 0 p
0
= 0 p
1
= 0
p = 0
ρ
p = c
2
ρ c
2
∂
2
ρ
∂t
2
= c
2
∆ρ − ρ
0
divf .
(1/ρ
0
) (1/ρ
0
)∂/∂t
graddivu = ∆u + rotrotu,
∂
2
u
∂t
2
= c
2
(∆u + rotrotu) +
∂f
∂t
.
ïðè a = 1, b = 0, âòîðîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé èëè çàäà÷åé Íåéìàíà
ïðè a = 0, b = 1, òðåòüåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé ïðè b = 1, a 6≡ 0 è ñìå-
øàííîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Òàêèì îáðàçîì,
èçó÷åíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ âîëí ìåòîäîì ìàòåìàòè÷å-
ñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è (6.13), (6.16), (6.17) ïðè îïðåäåëåííûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèÿõ,
èçè÷åñêîìó àíàëèçó ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé è ïðèìåíåíèþ ïîëó÷åííûõ ðå-
çóëüòàòîâ äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Áîëåå ïîäðîáíî îá
ýòîì ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â [3℄.
   Çàìå÷àíèå 6.1.  ãë. 2 áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî âîëíîâîå óðàâíåíèå (6.13)
ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. èïåðáîëè÷åñêàÿ íà÷àëüíî-
êðàåâàÿ çàäà÷à (6.13), (6.16), (6.17) ïîäðîáíî èçó÷àåòñÿ â îáùåì êóðñå äè-
åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ãäå äîêàçûâàåòñÿ åå
êîððåêòíîñòü ïðè íåêîòîðûõ åñòåñòâåííûõ óñëîâèÿõ íà èñõîäíûå äàííûå
(ñì., íàïðèìåð, [11, 34, 35℄).  íàñòîÿùåé êíèãå çàäà÷à (6.13), (6.16), (6.17)
áóäåò èçó÷àòüñÿ â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ: â ñëó÷àå, êîãäà Ω = Rn ,
n = 1, 2, 3 (ñì. ãë. 3), ëèáî â ñëó÷àå, êîãäà Ω èìååò âèä íåêîòîðîé êàíî-
íè÷åñêîé îáëàñòè òèïà îòðåçêà íà âåùåñòâåííîé îñè R, ïðÿìîóãîëüíèêà
ëèáî êðóãà â R2 è øàðà â R3 , à ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
áåñêîíå÷íîãî ðÿäà Ôóðüå (ñì. ãë. 4).
   Èç ïîñòàíîâêè çàäà÷è (6.13), (6.16), (6.17) âûòåêàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òðè
ðàçëè÷íûõ èñòî÷íèêà çâóêîâûõ âîëí: îáúåìíûå ñ ïëîòíîñòüþ F , ïîâåðõ-
íîñòíûå ñ (ïîâåðõíîñòíîé) ïëîòíîñòüþ g è íà÷àëüíûå, îïèñûâàåìûå óíê-
öèÿìè p0 è p1 . Åñëè, â ÷àñòíîñòè, F = 0, g = 0, p0 = 0, p1 = 0, òî åäèíñòâåí-
íûì ðåøåíèåì çàäà÷è (6.13), (6.16), (6.17) â ñèëó åå ëèíåéíîñòè è êîððåêò-
íîñòè ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ p = 0. Òàêèì îáðàçîì, â îòñóòñòâèå èñòî÷íèêîâ
âîëíîâîå ïîëå îòñóòñòâóåò, ÷òî èçè÷åñêè ñîâåðøåííî åñòåñòâåííî.
   6.3. Ïîòåíöèàë çâóêîâîãî ïîëÿ. Óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå âîëíîâîìó
óðàâíåíèþ (6.13), ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ äðóãèõ àêóñòè÷åñêèõ âåëè÷èí.
Òàê, äëÿ ïëîòíîñòè ρ óêàçàííîå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ
p = c2 ρ äåëåíèåì óðàâíåíèÿ (6.13) íà c2 è èìååò âèä
                           ∂ 2ρ
                              2
                                = c2 ∆ρ − ρ0 divf.                  (6.18)
                           ∂t
   ×òîáû ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äëÿ u, ïðèìåíèì ê óðàâíå-
íèþ (6.11) îïåðàöèþ (1/ρ0 )grad, ê óðàâíåíèþ (6.12)  îïåðàöèþ (1/ρ0 )∂/∂t
è âû÷òåì äðóã èç äðóãà ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ. Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå òîæ-
äåñòâî âåêòîðíîãî àíàëèçà [19, .159℄
                         graddivu = ∆u + rotrotu,                       (6.19)
ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
                       ∂ 2u    2                  ∂f
                            = c  (∆u + rotrotu) +    .                  (6.20)
                       ∂t2                        ∂t
                                      63

Страницы