Классические методы математической физики - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
x y
∂
2
p
∂t
2
= c
2
∂
2
p
∂x
2
+
∂
2
p
∂y
2
+ F.
x
∂
2
p
∂t
2
= c
2
∂
2
p
∂x
2
+ F.
f(x, t) = F(x)e
−iωt
, u(x, t) = v(x)e
−iωt
, p(x, t) = P (x)e
−iωt
.
i = +
√
−1 ω
F(x) v(x) P (x)
f(x, t) u(x, t) p(x, t)
v P
P =
ρ
0
c
2
iω
divv,
ñàìîãî ïîòåíöèàëà ϕ äîñòàòî÷íî ðåøèòü íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ñêà-
ëÿðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (6.31).  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ ñìûñë ââåäåíèÿ
ïîòåíöèàëà.
   Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ çâóêîâûå ïî-
ëÿ, îáëàäàþùèå íåêîòîðîé ñèììåòðèåé, íàïðèìåð, íå çàâèñÿùèå îò îäíîé
èëè äâóõ êîîðäèíàò. Äëÿ òàêèõ ïîëåé âîëíîâîå óðàâíåíèå (6.13) ïðèíèìàåò
áîëåå ïðîñòîé âèä. Òàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà âñå õàðàêòåðèñòèêè çâó-
êîâîãî ïîëÿ çàâèñÿò òîëüêî îò êîîðäèíàò x è y , âîëíîâîå óðàâíåíèå (6.13)
ïðèíèìàåò âèä
                       ∂ 2p
                                 2
                                 ∂ p ∂ 2p
                                            
                              2
                            =c        +       + F.                 (6.32)
                        ∂t2      ∂x2 ∂y 2
Óðàâíåíèå (6.32), íàçûâàåìîå äâóìåðíûì âîëíîâûì óðàâíåíèåì, îïèñûâàåò
ðàñïðîñòðàíåíèå äâóìåðíûõ çâóêîâûõ âîëí. Óðàâíåíèå (6.32) îïèñûâàåò
òàêæå è äðóãèå äâóìåðíûå âîëíîâûå ïðîöåññû, íàïðèìåð, îíî îïèñûâàåò
ïðîöåññ êîëåáàíèÿ ïëîñêîé ìåìáðàíû îêîëî åå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
   Òî÷íî òàê æå, åñëè õàðàêòåðèñòèêè çâóêîâîãî ïîëÿ çàâèñÿò òîëüêî îò
îäíîé äåêàðòîâîé êîîðäèíàòû x, òî (6.13) ïðèíèìàåò âèä
                           ∂ 2p      2
                                   2∂ p
                                = c     + F.                    (6.33)
                           ∂t2      ∂x2
Óðàâíåíèå (6.33), íàçûâàåìîå îäíîìåðíûì âîëíîâûì óðàâíåíèåì, îïèñû-
âàåò ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ îäíîìåðíûõ çâóêîâûõ âîëí è, â ÷àñòíîñòè,
çâóêîâûõ âîëí ñ òàê íàçûâàåìûì ïëîñêèì ðîíòîì. Óðàâíåíèå (6.33) îïè-
ñûâàåò òàêæå è äðóãèå îäíîìåðíûå âîëíîâûå ïðîöåññû.  ÷àñòíîñòè, îíî
îïèñûâàåò ïðîöåññ êîëåáàíèÿ ñòðóíû îêîëî ïîëîæåíèÿ ñâîåãî ðàâíîâåñèÿ
(ñì. Ÿ 8).
  6.4.   àðìîíè÷åñêèå çâóêîâûå âîëíû. Óðàâíåíèå              åëüìãîëüöà.
Âàæíûì êëàññîì ðåøåíèé óðàâíåíèé (6.11), (6.12) ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷å-
ñêèå çâóêîâûå âîëíû, ò. å. âîëíû ñ ãàðìîíè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìå-
íè. Äëÿ òàêèõ âîëí îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè çâóêîâîãî ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ
îðìóëàìè
     f(x, t) = F(x)e−iωt, u(x, t) = v(x)e−iωt, p(x, t) = P (x)e−iωt. (6.34)
              √
Çäåñü i = + −1  ìíèìàÿ åäèíèöà, ω  êðóãîâàÿ ÷àñòîòà ðàññìàòðèâàå-
ìîãî ãàðìîíè÷åñêîãî ïðîöåññà, F(x), v(x) è P (x)  ñîîòâåòñòâóþùèå àì-
ïëèòóäû âåêòîðíûõ ïîëåé f(x, t), u(x, t) è ñêàëÿðíîãî ïîëÿ p(x, t). Êàê
îáû÷íî, ïðè ðàññìîòðåíèè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé èçè÷åñêèé ñìûñë
ñëåäóåò ïðèäàâàòü âåùåñòâåííûì ÷àñòÿì âûðàæåíèé â (6.34). Ïîäñòàâëÿÿ
(6.34) â (6.11), (6.12), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì äëÿ êîìïëåêñ-
íûõ àìïëèòóä v è P
                                      ρ0 c2
                                P =         divv,                    (6.35)
                                       iω
                                    66

Страницы