Классические методы математической физики - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v =
1
iωρ
0
(∇P − ρ
0
F).
P
−c
2
ρ
0
/iω
∆P + k
2
P = −f.
k f
k =
ω
c
, f = −ρ
0
divF.
Ω
Γ
p
a(x, t) = α(x)e
−iωt
b(x, t) = β(x)e
−iωt
g(x, t) = γ(x)e
−iωt
αP + β
∂P
∂n
= γ
Γ.
α β γ a b g
Γ
Ω
P
Ω R
3
P (x) = O(|x|
−1
),
∂P(x)
∂|x|
− ikP (x) = o(|x|
−1
), |x| → ∞.
Ω = R
3
R
3
Ω
                                   1
                            v=        (∇P − ρ0 F).                       (6.36)
                                 iωρ0
   Óðàâíåíèÿ (6.35), (6.36) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü
ãàðìîíè÷åñêîãî çâóêîâîãî ïðîöåññà. Îáû÷íûì îáðàçîì èç (6.35), (6.36)
ìîæíî âûâåñòè îäíî ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå äëÿ äàâëåíèÿ P . Äëÿ ýòîãî äî-
ñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ê óðàâíåíèþ (6.36) îïåðàöèþ (−c2 ρ0 /iω )div è âû÷åñòü
ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå èç (6.35).  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó
óðàâíåíèþ
                               ∆P + k 2P = −f.                           (6.37)
Çäåñü âîëíîâîå ÷èñëî k è ïðàâàÿ ÷àñòü f îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè
                                 ω
                             k = , f = −ρ0 divF.                         (6.38)
                                 c
Óðàâíåíèå (6.37) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì åëüìãîëüöà (â ÷åñòü èçâåñòíîãî
íåìåöêîãî ó÷åíîãî è åñòåñòâîèñïûòàòåëÿ H.L.F. Helmholtz, 18211894).
   Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî çâóêîâîãî ïîëÿ ñâî-
äèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà (6.37) â ðàññìàòðèâà-
åìîé îáëàñòè Ω. Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ åëüì-
ãîëüöà ê íåìó ñëåäóåò äîáàâèòü ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ãðàíèöå Γ. Îíî ïî-
ëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (6.17) äëÿ p, åñëè òàì ïîëîæèòü
a(x, t) = α(x)e−iωt, b(x, t) = β(x)e−iωt, g(x, t) = γ(x)e−iωt, è èìååò âèä
                                   ∂P
                             αP + β   = γ íà Γ.                   (6.39)
                                   ∂n
Çäåñü α, β è γ  ñîîòâåòñòâóþùèå àìïëèòóäû ïîëåé a, b è g , çàäàííûõ íà
Γ. Çàäà÷à (6.37), (6.39) íîñèò íàçûâàíèå çàäà÷è èçëó÷åíèÿ.
   Ïðèâåäåííàÿ çäåñü ïîñòàíîâêà çàäà÷è èçëó÷åíèÿ îòíîñèòñÿ ê îãðàíè-
÷åííîé îáëàñòè Ω.  ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïîñòàíîâêà çàäà÷è
èçëó÷åíèÿ îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî ê êðàåâûì óñëîâèÿì (6.39) íåîáõîäèìî äî-
áàâèòü óñëîâèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå ïîâåäåíèå äàâëåíèÿ P íà áåñêîíå÷íîñòè.
 ñëó÷àå, êîãäà Ω ÿâëÿåòñÿ âíåøíîñòüþ êîìïàêòà â R3 , ðîëü ýòèõ óñëî-
âèé èãðàþò òàê íàçûâàåìûå óñëîâèÿ èçëó÷åíèÿ Çîììåðåëüäà (íàçâàííûå
ïî èìåíè íåìåöêîãî èçèêà è ìàòåìàòèêà A. Sommerfeld, 18681951). Îíè
èìåþò âèä [11, ñ. 439℄
                           ∂P (x)
      P (x) = O(|x|−1 ),          − ikP (x) = o(|x|−1), |x| → ∞.         (6.40)
                            ∂|x|
    òîì ìîäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà Ω = R3 , òàê ÷òî çâóêîâîå ïîëå ðàññìàò-
ðèâàåòñÿ âî âñåì ïðîñòðàíñòâå R3 , óñëîâèÿ Çîììåðåëüäà (6.40) âûäåëÿþò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà, ïðè÷åì ïî ñâîåìó èçè÷å-
ñêîìó ñìûñëó îíî îïèñûâàåò âîëíó, óõîäÿùóþ â áåñêîíå÷íîñòü. Àíàëî-
ãè÷íûé ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ è â ñëó÷àå, êîãäà Ω ÿâëÿåòñÿ âíåøíîñòüþ

                                      67

Страницы