Классические методы математической физики - 70 стр.

ãàçîîáðàçíóþ ñðåäó, çàíèìàþùóþ íåêîòîðóþ îáëàñòü Ω òðåõìåðíîãî ïðî-
ñòðàíñòâà R3 . Íå îñòàíàâëèâàÿñü çäåñü íà ñòðîãîì îïðåäåëåíèè ýëåêòðî-
ìàãíèòíîãî ïðîöåññà, îòìåòèì, ÷òî ïðè âñåì îãðîìíîì ìíîãîîáðàçèè ýëåê-
òðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé ñóùåñòâóåò óíäàìåíòàëüíîå òåîðåòè÷åñêîå ïîíÿ-
òèå, ïîçâîëÿþùåå ãîâîðèòü îá èõ åäèíîé îñíîâå. Òàêèì ïîíÿòèåì ÿâëÿ-
åòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîä ýëåê-
òðîìàãíèòíûì ïîëåì ìîæíî ïîíèìàòü íàáîð âåêòîð-óíêöèé E (ëèáî D),
H (ëèáî B), J è ñêàëÿðíîé óíêöèè ρe , íàçûâàåìûõ ñîîòâåòñòâåííî âåê-
òîðîì íàïðÿæåííîñòè (ëèáî èíäóêöèè) ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, âåêòîðîì
íàïðÿæåííîñòè (ëèáî èíäóêöèè) ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âåêòîðîì ïëîòíîñòè
ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà è ïëîòíîñòüþ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â ñðåäå, óäî-
âëåòâîðÿþùèõ â îáëàñòè Ω îïðåäåëåííûì äèåðåíöèàëüíûì è óíêöè-
îíàëüíûì óðàâíåíèÿì.
   Óêàçàííûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ãðóïïû. Ïåðâàÿ ãðóïïà
íîñèò íàçâàíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïî èìåíè âûäàþùåãîñÿ àíãëèéñêîãî
èçèêà D. Maxwell (18311879), êîòîðûé âïåðâûå ïîëó÷èë èõ â 19-îì âåêå.
Ýòè óðàâíåíèÿ, âûâåäåííûå Ìàêñâåëëîì ïóòåì îáîáùåíèÿ èçâåñòíûõ ê òî-
ìó âðåìåíè çàêîíîâ ýëåêòðè÷åñòâà è ìàãíåòèçìà è óñòðàíåíèÿ èìåþùèõñÿ
â íèõ ïðîòèâîðå÷èé, â ñîâðåìåííîé çàïèñè èìåþò (â ñèñòåìå ÑÈ) âèä

                              divD = ρe ,                          (7.1)

                               divB = 0,                           (7.2)
                                       ∂B
                             rotE = −     ,                        (7.3)
                                       ∂t
                                   ∂D
                            rotH =      + J.                       (7.4)
                                    ∂t
Óðàâíåíèå (7.1) ÿâëÿåòñÿ äèåðåíöèàëüíûì ñëåäñòâèåì îñíîâíîãî çàêî-
íà ýëåêòðîñòàòèêè  çàêîíà Êóëîíà (ñì. Ÿ 3) è ñïðàâåäëèâî íå òîëüêî äëÿ
ñòàòè÷åñêèõ, íî è äëÿ íåñòàöèîíàðíûõ ïîëåé. Óðàâíåíèå (7.2) ÿâëÿåòñÿ
ìàòåìàòè÷åñêèì îòðàæåíèåì èçâåñòíîãî èçè÷åñêîãî àêòà îá îòñóòñòâèè
ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ êàê èñòî÷íèêîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Óðàâíåíèå (7.3) ÿâëÿ-
åòñÿ ñëåäñòâèåì çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ, íàçâàííîãî
òàê â ÷åñòü èçâåñòíîãî àíãëèéñêîãî èçèêà  ïåðâîîòêðûâàòåëÿ ÿâëåíèÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè M. Faraday (17911867). Cîãëàñíî ýòîìó çàêî-
íó âñÿêîå ïåðåìåííîå âî âðåìåíè ìàãíèòíîå ïîëå èíäóöèðóåò ñâÿçàííîå ñ
íèì ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå (èìåþùåå â îòëè÷èå îò ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïî-
ëÿ âèõðåâîé õàðàêòåð) è âûðàæàåò êîëè÷åñòâåííóþ õàðàêòåðèñòèêó âèõðÿ
èíäóöèðîâàííîãî ïîëÿ. Íàêîíåö, óðàâíåíèå (7.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîá-
ùåíèå äèåðåíöèàëüíîé îðìû

                               rotH = J                            (7.5)

                                   70