Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v(θ, ϕ) = Q(θ)Φ(ϕ).
sin
2
θ
1
Qsinθ
d
dθ
sinθ
dQ
dθ
+ λ
= −
Φ
′′
Φ
= µ,
µ
1
sinθ
d
dθ
sinθ
dQ
dθ
+
λ −
µ
sin
2
θ
Q = 0
Q
Φ
′′
+ µΦ = 0
Φ
µ = m
2
, m = 1, 2 , ... .
µ = m
2
Φ(ϕ) = acosmϕ + bsinmϕ,
a b
Q(θ) = P (cosθ) = P (x),
d
dx
(1 − x
2
)
dP
dx
+
λ −
m
2
1 − x
2
P = 0
(−1, 1).
[−1, 1]
m = 0
[−1, 1]
P
m
λ
v(θ, ϕ) = (acosmϕ + bsinmϕ)P
m
λ
(cosθ)
  4.3. Ïðèñîåäèíåíèå óíêöèè Ëåæàíäðà.         Âåðíåìñÿ ê îáùåìó óðàâ-
íåíèþ (4.8) è áóäåì èñêàòü åãî ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäå
                           v(θ, ϕ) = Q(θ)Φ(ϕ).                        (4.18)
Ïîäñòàâëÿÿ (4.18) â (4.8) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, áóäåì èìåòü
                                                  Φ′′
                                          
                 2      1 d           dQ
              sin θ              sinθ      +λ =−      = µ,
                      Qsinθ dθ        dθ          Φ
ãäå µ  êîíñòàíòà ðàçäåëåíèÿ. Îòñþäà ïðèõîäèì ê äâóì îáûêíîâåííûì
äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì: óðàâíåíèþ
                                   
                   1 d          dQ         µ 
                           sinθ     + λ−        Q=0          (4.19)
                 sinθ dθ        dθ       sin2 θ
äëÿ Q è óðàâíåíèþ
                               Φ′′ + µΦ = 0                           (4.20)
äëÿ Φ. Èç óñëîâèÿ ïåðèîäè÷íîñòè (4.9) ñëåäóåò, ÷òî
                          µ = m2 , m = 1, 2, ... .                    (4.21)
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.20) ïðè µ = m2 èìååò âèä
                        Φ(ϕ) = acosmϕ + bsinmϕ,                       (4.22)
ãäå a è b  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
   Ïîäñòàâèì (4.21) â (4.19) è ñäåëàåì â íåì çàìåíó (4.11). Ïîëàãàÿ
                         Q(θ) = P (cosθ) = P (x),
ïðèõîäèì ñ ó÷åòîì (4.11a) ê óðàâíåíèþ
                                  m2
                                    
        d        2 dP
           (1 − x )     + λ−             P =0        â   (−1, 1).     (4.23)
       dx           dx          1 − x2
 ðåçóëüòàòå çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ñåðè÷åñêèõ óíêöèé ñâåëàñü ê íàõîæäå-
íèþ ãëàäêèõ íà [−1, 1] ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (4.23), êîòîðîå â ÷àñòíîì ñëó÷àå
m = 0 ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå Ëåæàíäðà (4.12).
   Îïðåäåëåíèå 4.2. ëàäêèå íà [−1, 1] ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.23) íàçû-
âàþòñÿ ïðèñîåäèíåííûìè óíêöèÿìè Ëåæàíäðà.
   Åñëè Pλm  ïðîèçâîëüíàÿ ïðèñîåäèíåííàÿ óíêöèÿ Ëåæàíäðà, òî óíê-
öèÿ
                  v(θ, ϕ) = (acosmϕ + bsinmϕ)Pλm (cosθ)             (4.24)
ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ñåðè÷åñêîé óíêöèåé. Ïîýòîìó, äëÿ ïîñòðîåíèÿ âñåõ
ñåðè÷åñêèõ óíêöèé íóæíî íàéòè âñå ïðèñîåäèíåííûå óíêöèè Ëåæàíä-
ðà.

                                    50

Страницы