Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

P
Z
P (x) = (1 − x
2
)
m/2
Z(x).
x
P
′
(x) =
m
2
1 − x
2
m/2−1
(−2x)Z + (1 − x
2
)
m/2
Z
′
,
P
′′
(x) =
h
m
2
m
2
− 1
1 − x
2
m/2−2
(−2x)
2
− m
1 −x
2
m/2−1
i
Z+
+2
h
m
2
1 − x
2
m/2−1
(−2x)
i
Z
′
+ ( 1 − x
2
)
m/2
Z
′′
.
(1 − x
2
)P
′′
− 2 xP
′
+
λ −
m
2
1 −x
2
P = 0
P, P
′
P
′′
Z
1 − x
2
m/2+1
Z
′′
+
h
−2mx(1 − x
2
)
m/2
− 2x(1 − x
2
)
m/2
i
Z
′
+
+
n
1 −x
2
m/2−1
m(m − 2)x
2
− m(1 − x
2
) + 2mx
2
+
+
λ −
m
2
1 − x
2
(1 − x
2
)

Z = 0.
(1 − x
2
)
m/2
(1 − x
2
)Z
′′
− 2 x(m + 1)Z
′
+ [ λ − m(m + 1)]Z = 0
d
dx
h
1 − x
2
m+1
Z
′
i
+ [λ − m(m + 1)](1 − x
2
)
m
Z = 0.
d
dx
(1 − x
2
)
m+1
d
dx
d
m
P
n
dx
m

+ [λ − m(m + 1)](1 − x
2
)
m
d
m
P
n
dx
m
= 0,
m
d
m
P
n
/dx
m
P
n
[−1, 1] λ = λ
n
≡ n(n + 1)
n = 0, 1, 2, ...
   ×òîáû íàéòè óêàçàííûå óíêöèè, ââåäåì âìåñòî óíêöèè P íîâóþ
íåèçâåñòíóþ óíêöèþ Z ïî îðìóëå

                               P (x) = (1 − x2)m/2Z(x).                (4.25)
Äèåðåíöèðóÿ ïî x, èìååì
                    m          m/2−1
                        1 − x2
                P ′ (x) =             (−2x)Z + (1 − x2)m/2Z ′ ,
                     2
            hm m                                                i
     ′′                          2 m/2−2      2           2 m/2−1
                                                          
    P (x) =         −1 1−x               (−2x) − m 1 − x            Z+
             2 2
               hm                        i
                           2 m/2−1
                                   (−2x) Z ′ + (1 − x2)m/2Z ′′ .     (4.26)
                             
            +2       1−x
                 2
Çàïèñàâ óðàâíåíèå (4.23) â âèäå
                                              m2
                                                  
                      2   ′′       ′
               (1 − x )P − 2xP + λ −                 P =0            (4.27)
                                            1 − x2
è ïîäñòàâëÿÿ â (4.27) âìåñòî P, P ′ è P ′′ èõ âûðàæåíèÿ èç (4.25), (4.26),
ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ Z :
                         h                                    i
             2 m/2+1 ′′                 2 m/2           2 m/2
                                                                Z ′+
              
        1−x         Z + −2mx(1 − x )          − 2x(1 − x )
            n            m/2−1 
        +       1 − x2       m(m − 2)x2 − m(1 − x2) + 2mx2+            (4.28)

                                m2
                                             
                          + λ−     2
                                       (1 − x2) Z = 0.
                               1−x
Ñîêðàòèâ íà (1 − x2 )m/2, ïåðåïèøåì (4.28) â âèäå
                (1 − x2)Z ′′ − 2x(m + 1)Z ′ + [λ − m(m + 1)]Z = 0
èëè
         d h      2 m+1 ′
                          i
                        Z + [λ − m(m + 1)](1 − x2)m Z = 0.        (4.29)
                    
             1−x
        dx
  Óðàâíåíèå (4.29) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì
                     m                               m
  d               d   d Pn                          2 m d Pn
     (1 − x2)m+1             + [λ − m(m + 1)](1 − x  )       = 0, (4.30)
 dx              dx dxm                                  dxm
êîòîðîìó, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü ïóòåì m  êðàòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ
óðàâíåíèÿ Ëåæàíäðà (4.12), óäîâëåòâîðÿåò ïðîèçâîäíàÿ dmPn /dxm ïîëè-
íîìà Ëåæàíäðà Pn . Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå Ëåæàíäðà èìååò íåòðèâèàëüíûå
ãëàäêèå íà [−1, 1] ðåøåíèÿ òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ λ = λn ≡ n(n + 1),
n = 0, 1, 2, ..., òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (4.30), à ñëåäîâàòåëüíî, è

                                          51

Страницы