Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 11 стр.

                                            11

                    Предел числовой последовательности и функции.
   Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,…,n,… ставится в соответ-
ствие по определенному закону вещественное число xn, то множество занумерован-
ных вещественных чисел
                             x1, x2,…, xn,… (или {xn})
  называется числовой последовательностью.
   Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого сколь
угодно малого положительного числа ε можно указать номер N=N(ε) такой, что при
n ≥ N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству
xn < ε .
   Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число
A, что последовательность {xn−A} является бесконечно малой. При этом число A
называется пределом последовательности {xn}. Обозначение lim xn = A .
                                                                n→∞
   Предел бесконечно малой последовательности равен 0. Если {xn} – бесконечно
малая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена последо-
              1
вательность        , которая является бесконечно большой, т.е. ее предел равен ∞ .
               xn 
   Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x 0 = a , если для
любой сходящейся последовательности { x n } значений аргумента x, элементы x n
которой отличны от a ( x n ≠ a ), соответствующая последовательность { f ( x n ) }
значений функции сходится к A. При этом пишут: lim f(x) = A.
                                                    x→ a

   Число A называется правым (левым) пределом функции y = f (x) в точке
 x 0 = a , если для любой сходящейся к a последовательности { x n }, элементы x n
которой больше a ( x n > a ) (меньше a ( x n < a )) соответствующая последова-
тельность { f ( x n ) } значений функции сходится к A.
     Обозначение для правого предела lim f ( x ) = A .
                                       x→a +0

   Обозначение для левого предела lim f ( x) = A .
                                      x→ a −0

   Если в точке a правый и левый предел функции y = f (x) равны, то в точке a
существует предел этой функции, равный указанным односторонним пределам.
   Функция y = f (x) называется бесконечно малой в точке x 0 = a , если
lim f ( x ) = 0 .
x →a

   Функция y = f (x) называется бесконечно большой в точке x 0 = a , если для