Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

12
любой сходящейся к a последовательности {
n
x } значений аргумента x, соответст-
вующая последовательность { )(
n
xf } значений функции является бесконечно
большой последовательностью. Обозначение:
lim()
xa
fx
→
=∞
,
Пусть )(α x и )(β x две заданные на одном и том же множестве функции, яв-
ляющиеся бесконечно малыми в точке ax =
0
.
Функции )(α x и )(β x называются эквивалентными бесконечно малыми, если
1
)(β
)(α
lim =
→
x
x
ax
.
Таблица эквивалентных функций
Во всех формулах эквивалентности под ∆ подразумевается любое выражение,
такое что
0
→
Δ
.
ΔΔ ~sin
ΔΔ~tg
ΔΔ~arcsin
ΔΔ ~arctg
2
~cos1
2
Δ
Δ− ΔΔ ~)1ln(
+
Δ
Δ
~1−e aa ln~1 Δ
Δ
−
m
m
Δ
Δ ~11 −−
e~)1(
/1 Δ
Δ+ e~
1
1
Δ
Δ
+
При вычислении пределов применяют свойство эквивалентных бесконечно ма-
лых: если бесконечно малые функции )(α x и )(β x эквивалентны соответственно
функциям
1
x
и
1
β ()
x
, то
1
1
()
α()
limlim
β()()
xaxa
x
x
xx
α
β
→→
=
.
При нахождении предела
0
lim()
xx
px
→
некоторой функции p(x) (x
0
- конечное чис-
ло или
±∞
) возможно появление неопределённостей типа:
[ ] [ ]
00
0
1. ; 2. ;3. ;4. 0;5.1;6.;7.0
0
∞
∞


∞−∞⋅∞∞


∞

.
Пример 1. Найти предел
2
lim(4)
x
xxx
→∞
+−
.
Имеем неопределённость 3-го типа. Умножив и разделив выражение на сопря-
жённое, получим неопределенность 2-го типа, которую легко раскрыть: 
                                              12


любой сходящейся к a последовательности { x n } значений аргумента x, соответст-
вующая последовательность { f ( x n ) } значений функции является бесконечно
большой последовательностью. Обозначение: lim f ( x ) = ∞ ,
                                                       x →a

   Пусть α( x ) и β ( x ) две заданные на одном и том же множестве функции, яв-
ляющиеся бесконечно малыми в точке x 0 = a .
   Функции α( x ) и β ( x ) называются эквивалентными бесконечно малыми, если
       α( x )
lim           = 1.
x →a   β( x)
                        Таблица эквивалентных функций
   Во всех формулах эквивалентности под ∆ подразумевается любое выражение,
такое что Δ → 0 .
       sin Δ ~ Δ             tgΔ ~ Δ                          arcsin Δ ~ Δ
                                            Δ 2
       arctgΔ ~ Δ            1 − cos Δ ~                      ln(1 + Δ) ~ Δ
                                             2
                                                                              Δ
       eΔ − 1 ~ Δ            a Δ − 1 ~ Δ ln a                 1− m 1− Δ ~
                                                                              m
                                                   Δ
                                             1
       (1 + Δ)   1/ Δ
                        ~e                1 +  ~ e
                                           Δ
   При вычислении пределов применяют свойство эквивалентных бесконечно ма-
лых: если бесконечно малые функции α( x ) и β ( x ) эквивалентны соответственно
                                 α( x)         α ( x)
функциям α1 ( x) и β1 ( x) , то lim     = lim 1       .
                           x → a β( x )   x →a β ( x)
                                                1

   При нахождении предела lim p( x) некоторой функции p(x) (x0- конечное чис-
                                 x → x0
ло или ±∞ ) возможно появление неопределённостей типа:
      0      ∞
   1.   ; 2.   ; 3. [∞ − ∞ ] ; 4. [ 0 ⋅ ∞ ] ; 5. 1∞  ; 6.  ∞0  ; 7.  00  .
      0      ∞
   Пример 1. Найти предел lim( x 2 + 4 x − x) .
                               x →∞
   Имеем неопределённость 3-го типа. Умножив и разделив выражение на сопря-
жённое, получим неопределенность 2-го типа, которую легко раскрыть:

Страницы