Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 13 стр.

                                                                       13


                                             ( x 2 + 4 x − x)( x 2 + 4 x + x)
    lim( x 2 + 4 x − x) = lim                                                                                    =
    x →∞                              x →∞
                                                                     x2 + 4x + x
                   4x                                       4x                                          4
    = lim                         = lim                                       = lim                                   = 2.
      x →∞
              x2 + 4x + x           4 x →∞                                       x →∞
                                                                                                     4
                           x  1 + + 1                                                          1+ +1
                                    x                                                              x
                                1 − cos 4 x
   Пример 2.Найти предел lim
                         x → 0 x sin x
   Имеем неопределённость вида  0  . Применим эквивалентные бесконечно ма-
                                                            0 

                                          ( 4x )
                                                   2

лые sin x     x , 1 − cos 4 x                          :
                                              2
                                               1 − cos 4x      8x2
                                           lim            = lim 2 = 8 .
                                          x → 0 x sin x    x→0 x
   При нахождении пределов часто используются первый и второй замечательные
пределы :
                                                       x
           sin x                1
                 = 1 ; 2) lim 1 +  = lim (1 + y ) y = e .
                                                    1
   1) lim
      x →0   x            x →∞
                                 x   y →0

                                                                     2 x +3
   Пример 3. Вычислить lim 
                                               5x − 1 
                                                       
                       x →∞
                                               5x + 2 
                     2 x +3                                                       2 x +3
         5x − 1                                 3 
    lim                     = 1  = lim  1 −
                                      ∞
                                                                                          .
    x →∞ 5 x + 2
                                       x →∞
                                               5x + 2 
   Приведем полученное выражение ко 2-му замечательному пределу:
                                                                                                     3
                                                                                               −         (2 x + 3)
                               
                              2 x+3            −
                                                 5 x+ 2
                                                                                                  5x +2                       −6 x −9
            3                        −    
                                                                                                                                                6
                                          3                                                                                                 −
   lim  1 −           =        1+                 3
                                                                                                                        lim
                                                                                                                     = e x →∞ 5 x + 2 = e
                                           
                                                                                                                                                5
                         lim
                         x →∞                          
   x →∞
         5x + 2                 5x + 2 
                                                       
                                   2x + 9x − 5
                                      2
   Пример 4. Найти предел lim                         .
                            x → −5 x 2 + 4 x − 5

   Для       раскрытия            неопределённости                            0              находим                 корни             числителя
                                                                               0 
                  1
( x1 = −5; x2 =     ) и знаменателя ( x1 = −5; x2 = 1 ).
                  2