Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

19
Непрерывность функций. Асимптоты.
Функция )(xfy
=
называется непрерывной в точке ax =
0
, если в этой точке
существует предел равный значению функции в этой точке: )()(lim afxf
ax
=
→
.
Функция )(xfy
=
называется непрерывной на сегменте [α,β], если она непре-
рывна в каждой точке сегмента [α,β].
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются
точками разрыва.
Точка ax =
0
называется точкой устранимого разрыва функции )(xfy
=
,
если предел функции в этой точке существует, но в точке a функция )(xf или не
определена, или ее частное значение )(af в точке a не равно предельному значе-
нию.
Пример:
=
≠
=
0,2
0,
sin
)(
x
x
x
x
xf
Точка ax =
0
называется точкой разрыва 1-го рода функции )(xfy
=
, если в
этой точке функция )(xf имеет конечные, но не равные друг другу правый и
левый пределы:
)(lim)(lim
00
xfxf
axax +→−→
≠ .
Пример:
<−
=
>
==
0,1
0,0
0,1
)sgn()(
x
x
x
xxf
Точка ax =
0
называется точкой разрыва 2-го рода функции )(xfy
=
, если в
этой точке )(xf не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконеч-
ности.
Пример:
x
xf
1
sin)( = 
                                          19

                      Непрерывность функций. Асимптоты.
   Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x 0 = a , если в этой точке
существует предел равный значению функции в этой точке: lim f ( x ) = f ( a) .
                                                             x→ a

   Функция y = f (x) называется непрерывной на сегменте [α,β], если она непре-
рывна в каждой точке сегмента [α,β].
   Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются
точками разрыва.
   Точка x 0 = a называется точкой устранимого разрыва функции y = f (x) ,
если предел функции в этой точке существует, но в точке a функция f (x ) или не
определена, или ее частное значение f (a ) в точке a не равно предельному значе-
нию.
                      sin x
                            ,x ≠ 0
   Пример: f ( x ) =  x
                      2, x = 0
   Точка x 0 = a называется точкой разрыва 1-го рода функции y = f (x) , если в
этой точке функция f (x ) имеет конечные, но не равные друг другу правый и
левый пределы:
                                lim f ( x) ≠ lim f ( x ) .
                               x →a − 0        x→ a + 0

                               1, x > 0
                              
   Пример: f ( x) = sgn( x) =  0, x = 0
                              − 1, x < 0
                              
   Точка x 0 = a называется точкой разрыва 2-го рода функции y = f (x) , если в
этой точке f (x ) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконеч-
ности.
                           1
   Пример: f ( x ) = sin
                           x

Страницы