Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 21 стр.

                                                     21


                                          sin 2 x            2x              2
   2) Рассмотрим x=0. Так как        lim          = lim             = lim        = 2, а
                                     x →0 x + x
                                            2       x →0 x ( x + 1)   x →0 x + 1

рассматриваемая точка не принадлежит области определения, заключаем, что x=0
– точка устранимого разрыва.
   3) Пусть теперь x=-1. Так как при x → −1               x2 + x → 0 , а
                                                       sin 2 x
sin 2 x → − sin 2 ,   то заключаем, что          lim 2         = ∞ . Следовательно, x=-1 –
                                                 x →−1 x + x

точка разрыва второго рода.
   Говорят, что прямая x          =a  является вертикальной асимптотой графика
функции    y= f   (x ) , если хотя бы одно из предельных значений
                                  lim f ( x)         или    lim f ( x )
                                 x →a + 0                  x →a − 0
   равно ∞ или − ∞ .
   Говорят, что прямая Y      = kx + b называется наклонной асимптотой графика
функции y = f (x ) при        x → +∞ , если функции y = f (x ) представима в
виде     f ( x) = kx + b + α( x ) , где lim α( x ) = 0 .
                                            x → +∞

   Для того чтобы график функции y = f (x ) имел при x → +∞ наклонную
асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значе-
ния

                        lim
                                 f ( x)
                                        = k и xlim   ( f ( x ) − kx) = b
                        x → +∞     x            → +∞


   Аналогично определяется наклонная асимптота при                    x → −∞ .
                                                                                   9x
   Пример 3. Найти асимптоты и построить график функции y =                             .
                                                                                 9 − x2

   Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой, т.к.
          9
lim            =∞
x →±3   9 − x2
                                                             9
   Найдем наклонные асимптоты: k = lim                           =0
                                                x→∞       9 − x2