Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

20
Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность. Построить график функ-
ции. Указать точки разрыва функции, если они существуют.
,0
1cos,0
sin,
xx
xx
xx
π
π
≤
−<<
≥
В интервалах
(
)
(
)
(
)
∞ππ∞− ,,,,, 00 функция непрерывна. Исследуем на непре-
рывность функцию в точках
0
=
x
и
π
=
x
.
2
000
xxx
xxx
→→→
=−=−=−=
.
При х→0 имеем:
2
000
xxx
xxx
→→→
=−=−=−=
.
Таким образом, в точке х=0 функция непрерывна.
При х→
π
функция имеет разрыв 1-го типа. Строим график функции, выбирая
удобный масштаб:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-
3,1
4
15927
-
1,9
6
34954
-
0,7
8
53982
0
,39
2
69908
1
,57
0
79633
2
,74
8
89357
3
,92
6
99082
5
,10
5
08806
6
,28
3
18531
7
,46
1
28255
8
,63
9
3798
y
x
-π π/2 π 2π 3π
Рис. 1
Пример 2. Найти и классифицировать точки разрыва функции
2
sin2
()
x
fx
xx
=
+
.
Решение. 1) Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, непрерывны при
всех вещественных x. Однако знаменатель обращается в нуль при x=0 и x=-1, т.е.
эти точки не принадлежат области определения и являются точками разрыва.
Исследуем каждую из них. 
                                                               20

   Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность. Построить график функ-
ции. Указать точки разрыва функции, если они существуют.
    x,        x≤0
   
   1 − cos x, 0 < x < π
              x ≥π
   sin x,
   В интервалах (− ∞ ,0), (0, π), (π, ∞ ) функция непрерывна. Исследуем на непре-
рывность функцию в точках x = 0 и x = π .
   lim x 2 = 0;lim(1 − cos x ) = 1 − lim cos x = 1 − 1 = 0 .
   x→0             x→0                                   x→0

   При х→0 имеем: lim x = 0;lim(1 − cos x ) = 1 − lim cos x = 1 − 1 = 0 .
                                      2
                            x→0                    x→0                             x→0
   Таким образом, в точке х=0 функция непрерывна.
   При х→ π функция имеет разрыв 1-го типа. Строим график функции, выбирая
удобный масштаб:
                                               y
                                          3

                                          2

                                          1
                                                                                                        x
                                          0
                       -π                            π/2        π                        2π            3π
                  7

                            4

                                  2
                                           08

                                                    33

                                                          57

                                                                    82

                                                                           06

                                                                                   31

                                                                                          55

                                                                                                   8

                                          -1
                92

                       95

                                 98




                                                                                               79
                                      99

                                                96

                                                         93

                                                                90

                                                                         88

                                                                                85

                                                                                        82
            15

                     34

                             53




                                                                                              93
                                  26

                                               07

                                                     88

                                                               69

                                                                      50

                                                                              31

                                                                                     12
           14

                  96

                            78




                                                                                          63
                                 39

                                           57

                                                    74

                                                          92

                                                                    10

                                                                           28

                                                                                   46




                                          -2
            ,

                   ,

                          ,




                                                                                         8,
         -3

                -1

                       -0

                                 0,

                                          1,

                                                2,

                                                         3,

                                                                5,

                                                                         6,

                                                                                7,




                                          -3

                                          -4

                                    Рис. 1
   Пример 2. Найти и классифицировать точки разрыва функции
                                                                    sin 2 x .
                                                     f ( x) =
                                                                    x2 + x
   Решение. 1) Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, непрерывны при
всех вещественных x. Однако знаменатель обращается в нуль при x=0 и x=-1, т.е.
эти точки не принадлежат области определения и являются точками разрыва.
Исследуем каждую из них.

Страницы