Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

26
Производная и дифференциал функции одной переменной. Формулы Тейло-
ра и Маклорена.
Производной функции
(
)
xfy = называется предел, если он существует, отно-
шения приращения функции
y
∆
к приращению аргумента
x
∆
, когда
x
∆
стремит-
ся к 0:
0
()()
()limlim()
xox
yyxxyx
xx
∆→∆→
∆+∆−
′′
===
∆∆
.
Кроме y
′
для производной функции
(
)
xy используются также обозначения
dx
dy
, где dy и
dx
называются соответственно дифференциалом функции
(
)
xy и
дифференциалом аргумента
x
. Дифференциалом первого порядка функции
(
)
xy
называется та часть приращения функции при приращении аргумента
dx
, которая
линейно зависит от
dx
. Т.о., по определению дифференциал функции dy равен
произведению её производной на дифференциал аргумента dy :
(
)
dxxydy
′
= .
Если приращение
x
∆
аргумента мало по абсолютной величине, то
ydy
∆≈
и
(
)
(
)
()
fxxfxfxx
′
+∆≈+∆
. Таким образом, дифференциал функции может
применяться для приближенных вычислений.
Геометрически производная функции в точке x представляет собой тангенс угла
наклона касательной к положительному направлению оси Ox: α=
′
tg)x(y . Т.к.
производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента,
то физический смысл производной по времени от вектора перемещения – скорость
dt
rd
→
. Производная по времени от скорости – ускорение
2
2
dt
rd
→
.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием
функции.
При нахождении производных и дифференциалов функции
()
yfx
=
приме-
няются следующие правила:
(
)
'
()()'()'()
fxgxfxgx
+=+
(1)
(
)
'
()()'()()()'()
fxgxfxgxfxgx
=+
(2)
(
)
'
()'()
CfxCfx
=
(3)
'
2
()'()()'()()
()()
fxfxgxgxfx
gxgx

−
=


(4)
'0
C
=
(5)
Необходимо также знать таблицу производных основных элементарных функ-
                                                                 26

  Производная и дифференциал функции одной переменной. Формулы Тейло-
                            ра и Маклорена.
    Производной функции y = f (x ) называется предел, если он существует, отно-
шения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆x , когда ∆x стремит-
ся к 0:
                                  ∆y           y ( x + ∆x ) − y ( x )
   y ′( x) = lim                     = lim                            = f ′( x) .
                         ∆x → o   ∆x   ∆ x → 0          ∆x
    Кроме y′ для производной функции y (x ) используются также обозначения

    , где dy и dx называются соответственно дифференциалом функции y (x ) и
 dy
 dx
дифференциалом аргумента x . Дифференциалом первого порядка функции y (x )
называется та часть приращения функции при приращении аргумента dx , которая
линейно зависит от dx . Т.о., по определению дифференциал функции dy равен
произведению её производной на дифференциал аргумента dy : dy = y ′(x )dx .
   Если приращение ∆x аргумента мало по абсолютной величине, то ∆y ≈ dy и
f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) ∆x . Таким образом, дифференциал функции может
применяться для приближенных вычислений.
   Геометрически производная функции в точке x представляет собой тангенс угла
наклона касательной к положительному направлению оси Ox: y′( x ) = tgα . Т.к.
производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента,
то физический смысл производной по времени от вектора перемещения – скорость
  →                                                                                 →
 dr                                                     d2 r
      . Производная по времени от скорости – ускорение        .
 dt                                                      dt 2
    Операция нахождения производной функции называется дифференцированием
функции.
    При нахождении производных и дифференциалов функции y = f ( x) приме-
няются следующие правила:
    ( f ( x) + g ( x) ) = f '( x) + g '( x)
                        '
                                                                (1)
    ( f ( x) g ( x) ) = f '( x) g ( x) + f ( x) g '( x)
                     '
                                                                (2)

   ( Cf ( x) )           = Cf '( x )
                 '
                                                                                        (3)
                     '
    f ( x)  f '( x) g ( x) − g '( x) f ( x)
    g ( x)  =
                                                                                        (4)
                        g 2 ( x)
   C'= 0                                                     (5)
   Необходимо также знать таблицу производных основных элементарных функ-

Страницы