Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

27
ций. В Таблице 1 формулы приводятся как для функции независимого аргумента
()
yfx
=
, так и для сложной функции
(())
yfux
.
Таблица 1
1)
'1
x
=
,
1
()'
xx
αα
α
−
=
2)
(cos)'sin
xx
=−
3)
(sin)'cos
xx
=
4)
2
1
(tg)'
cos
x
x
=
5)
2
1
(ctg)'
sin
x
x
−
=
6)
()'ln
xx
aaa
= ,
7) ()'
xx
ee
=
8)
1
(log)'
ln
a
x
xa
= ,
9)
1
(ln)'
x
x
=
10)
2
1
(arctg)'
1
x
x
=
+
11)
2
1
(arcctg)'
1
x
x
−
=
+
12)
2
1
(arcsin)'
1
x
x
=
−
13)
2
(arccos)'
1
x
x
−
=
−
1′)
1
()''
uuu
αα
α
−
=
2′)
(cos)'sin'
uuu
=−⋅
3′)
(sin)'cos'
uuu
=⋅
4′)
2
'
(tg)'
cos
u
u
u
=
5′)
2
'
(ctg)'
sin
u
u
u
−
=
6′)
()'ln'
uu
aaau
=⋅
,
7′)
()''
uu
eeu
=
8′)
'
(log)'
ln
a
u
ua
= ,
9′)
'
(ln)'
u
u
u
=
10′)
2
'
(arctg)'
1
u
u
u
=
+
11′)
2
'
(arcctg)'
1
u
u
u
−
=
+
12′)
2
'
(arcsin)'
1
u
u
u
=
−
13′)
2
'
(arccos)'
1
u
u
u
−
=
−
Пример 1. Найти производную
'()
fx
для
3
()ln(tg(3))
x
fxx
=+
и выписать
дифференциал этой функции.
Решение. Данную функцию можно представить в виде
()ln()
fxux
=
, где
3
()=tg(3)
x
uxx
+
, и воспользоваться формулой 9′) из Табл.1. Далее к числителю 
                                            27

ций. В Таблице 1 формулы приводятся как для функции независимого аргумента
y = f ( x) , так и для сложной функции y = f (u ( x )) .
                                                                Таблица 1
    1)  x ' = 1, ( xα )' = α xα −1            1′) (uα )' = α uα −1u '
  2) (cos x )' = − sin x                      2′) (cos u )' = − sin u ⋅ u '
  3) (sin x )' = cos x                        3′) (sin u )' = cos u ⋅ u '
                    1                                            u'
  4) (tgx)' =                                 4′) (tgu )' =
                cos 2 x                                      cos 2 u
                    −1                                           −u '
  5) (ctgx)' =                                5′) (ctgu )' =
                  sin 2 x                                       sin 2 u
  6) ( a )' = a ln a ,                        6′) ( a )' = a ln a ⋅ u ' ,
        x        x                                   u        u


  7) (e )' = e                                7′) (e )' = e u '
        x       x                                    u       u


                       1                                            u'
  8) (log a x)' =           ,                 8′) (log a u )' =          ,
                    x ln a                                        u ln a
                1                                            u'
  9) (ln x)' =                                9′) (ln u )' =
                 x                                            u
                         1                                            u'
  10) (arctgx )' =                            10′) (arctgu )' =
                      1 + x2                                       1 + u2
                         −1                                            −u '
  11) (arcctgx)' =                            11′) (arcctgu )' =
                       1 + x2                                        1 + u2
                            1                                            u'
  12) (arcsin x )' =                          12′) (arcsin u )' =
                          1 − x2                                        1− u2
                           −1                                            −u '
  13) (arccos x)' =                           13′) (arccos u )' =
                          1 − x2                                        1− u2
  Пример 1. Найти производную          f '( x) для f ( x ) = ln(tg(3x ) + x 3 ) и выписать
дифференциал этой функции.
   Решение. Данную функцию можно представить в виде                f ( x) = ln u ( x) ,   где
u ( x)=tg(3 ) + x
           x        3
                        , и воспользоваться формулой 9′) из Табл.1. Далее к числителю

Страницы