Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 29 стр.

                                                           29

                1−cos x                      1−cos x
                            1− cos x  1+cos x (1− cos x)'(1+ cos x) − (1+ cos x)'(1− cos x)
                                        '

    f '(x) = e  1+cos x   ⋅           =e     ⋅                                              =
                            1+ cos x                          (1+ cos x)2
                     1−cos x                                                 1−cos x
                                sin x(1+ cos x) + sin x(1− cos x) 1+cos x 2sin x
                 = e1+cos x ⋅                                    =e      ⋅             .
                                          (1+ cos x)2                      (1+ cos x)2
    Далее вычисляем производную в точке x=π/2. Поскольку cos(π / 2) = 0 и
                        sin(π / 2) = 1 , то f '(π / 2) = 2e .
                                                df     x =π / 2
                                                                  = 2edx .
   Производную показательно-степенной функции y(x) = (u(x))v(x) можно вычис-
лить, предварительно прологарифмировав обе части равенства. В результате полу-
чим:

    y ′ = y ( x ) ( v( x ) ln u ( x ) )′ .                                             (6)
   Пример 4. Найти производную функции y = (sin x )ln 2 x .
   Логарифмируем обе части равенства, после чего дифференцируем полученное
равенство:
   ln y = ln 2 x ⋅ ln(sin x)
    y′                                                    1                      cos x
       = (ln 2 x)′ ⋅ ln(sin x ) + ln 2 x ⋅ (ln(sin x ))′ = ln(sin x ) + ln 2 x ⋅       .
    y                                                     x                      sin x
   Отсюда
            1                                           1                          
    y ′ = y  ln(sin x) + ln 2 x ⋅ ctgx  = (sin x)ln 2 x  ln(sin x) + ln 2 x ⋅ ctgx  .
            x                                           x                          
                                                                                                       d2y
   Производная от первой производной функции y (x ) обозначается y ′′ или
                                                                                                       dx 2
и называется производной 2-го порядка или второй производной.
   Производной n-го порядка функции y (x ) , если она существует, называется про-
                                                                                           n
                                                                                       d       y
изводная от производной (n-1)-го порядка и обозначается y ( n ) или                                .
                                                                                               n
                                                                                       dx
    Если функция y (x ) задана неявно и определяется уравнением f (x , y ) = 0 , то
дифференцируя обе части равенства по x получим уравнение первой степени
относительно y′ , из которого найдём y′ , как некоторую функцию от x и y :
 y′ = F (x , y ) .
    Дифференцируя по x обе части последнего равенства и используя выражение
для y′ , можно получить выражение для второй производной y ′′ .