Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

30
Пример 5. Найти y
′
и y
′
′
, если
(
)
xy задано неявно уравнением
sin2
yyx
+=
.
Приведём уравнение к виду
(
)
0=y,xf .
yyx
+−=
;
продифференцировав, получим :
(а)
cos20
yyy
′′
+−=
.
Откуда
(б)
2
1cos
y
y
′
=
+
.
Продифференцируем по
x
обе части равенства (а):
2
cossin0
yyy(y)y
′′′′′
+−=
(в)
2
()sin
1cos
yy
y
y
′
′′
=
+
.
Подставляя в (в) y
′
из (б) получим:
3
4sin
(1cos)
y
y
y
′′
=
+
.
Если функция
(
)
xy задана в параметрическом виде
=
=
)t(yy
)t(xx
, то производные
определяются формулами:
2
2
2
2
2
3
'
''
'''
'
y
y
xx
t(t)
y
t
dy dy
t
tt
'''
yy
xx
''
dx dx
(t)()
xx
tt
−
====
(7)
Пример 6. Найти
2
'''
и
yy
xx
, если
sin
cos
xtt
yt
=+
=
Используя формулу (7) получим :
sin
;
1cos
'
y
t
t
'
y
x
'
(t)
x
t
−
==
+
cos1cossinsin
2
3
1cos
cos11
32
1cos1cos
(t)(t)(t)(t)
''
y
x
(t)
(t)(t)
−+−−−
==
+
−−
==−
++
Если существуют производные любого порядка функции
(
)
xfy = , то функция
(
)
xf может быть записана в виде 
                                                    30

   Пример 5. Найти y′ и y ′′ , если y (x ) задано неявно уравнением y + sin y = 2 x .
   Приведём уравнение к виду f (x , y ) = 0 .
    y + sin y − 2 x = 0 ;
   продифференцировав, получим :
   (а)                 y ′ + y ′ cos y − 2 = 0 .
   Откуда
   (б)                            2    .
                      y′ =
                            1 + cos y
   Продифференцируем по x обе части равенства (а):
    y ′′ + y ′′ cos y − (y ′)2 sin y = 0
                                ( y ′) 2 sin y .
   (в)                   y ′′ =
                                 1 + cos y
   Подставляя в (в) y′ из (б) получим:
             4 sin y .
   y ′′ =
          (1 + cos y )3
                                                      x = x( t )
   Если функция y (x ) задана в параметрическом виде             , то производные
                                                      y = y( t )
определяются формулами:
                                      ''2 '        '' '
                              d 2 y y t x t − x t 2 yt
             '
         dy y t(t)
   y'x =   =            ''
                       y x2 = 2 =                                     (7)
         dx x't (t)           dx          ( x't )3
                                       x = t + sin t
   Пример 6. Найти y' и y'' 2 , если 
                                     
                     x      x
                                      y = cos t
   Используя формулу (7) получим :

    '   y't    − sin t
   yx =     =            ;
        x t ( 1 + cos t)
         '
            ( − cos t)( 1 + cos t) − ( − sin t)( − sin t)
   y'' =                                                  =
     x2                    ( 1 + cos t)3
          − cos − 1            1
   =                 =−
       ( 1 + cos t)3    ( 1 + cos t)2
   Если существуют производные любого порядка функции y = f (x ) , то функция
f (x ) может быть записана в виде

Страницы