Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

31
00000
0000
11
2
12
11
.
0
f(x)f(x)f(x)(xx)f(x)(xx)......
!!
(n)(n)
nn
f(x)(xx).....f(x)(xx)
n!n!
n
′′′
=+−+−++
∞
+−+=−
∑
=
(8)
где под знаком суммы производная нулевого порядка )(x
)(
f
0
0
принимается
равной
(
)
0
xf ; n!=
321
...n; 0!=1. Формула (8) называется формулой Тейлора
разложения функции
(
)
xf в точке
0
x по степеням
(
)
0
xx − . При этом предполага-
ется, что правая часть формулы (8) должна быть ограниченной функцией от
x
.
При 0
0
=x из (8) получим:
11
000
1
1
0.
0
(n)
n
f(x)f()f()x......f()x.....
!n!
(n)
n
f()x
n!
n
′
=++++=
∞
=
∑
=
(9)
Формула (9) называется формулой Маклорена разложения функции
(
)
xf в точ-
ке
0
=
x
по степеням
x
.
Пример 6. Разложить функцию
x
f(x)
5
2
1
+
= по формуле Тейлора в точке
3
=
x
.
Вычисляем производные функции
(
)
xf и увидев закономерность, запишем вы-
ражение для производной n-го порядка (x)
(n)
f :
;
x)(
))((
(x)f
;
x)(
)(
(x)f
3
52
2
521
2
52
51
+
−−
=
′′
+
−
=
′
4
52
3
5321
x)(
))()((
(x)f
+
−−−
=
′′′
.
Легко увидеть, что (x)
(n)
f имеет следующий вид:
1
17
51
3
1
52
51
+
−
=⇒
+
+
−
=
n
n
n!
n
)(
)(
n
f
n
x)(
n
n!
n
)(
(x)
n
f
.
Подставляя )(f
)n(
3 в формулу (9), получим :
0
15
()(1)()(3)
1717
nnn
n
fxx
∞
=
=−−
∑
. 
                                                      31

             1                    1
                  ′ 0 )(x − x0 ) + f ′′(x0 )(x − x0 )2 + ...... +
    f(x) = f(x0 ) +
                f (x
             1!                   2!                                       (8)
    1 (n)                         ∞ 1 (n)
   + f (x0 )(x − x0 )n + ..... = ∑       f (x0 )(x − x0 )n .
    n!                           n=0 n!
                                                                (0)
   где под знаком суммы производная нулевого порядка f             (x 0 ) принимается
равной f (x 0 ) ; n!= 1⋅ 2 ⋅ 3 ...n; 0!=1. Формула (8) называется формулой Тейлора
разложения функции f (x ) в точке x0 по степеням (x − x 0 ) . При этом предполага-
ется, что правая часть формулы (8) должна быть ограниченной функцией от x .
   При x0 = 0 из (8) получим:
                         1                       1 (n)
    f(x) = f( 0 ) +         f (′ 0 )x + ...... +    f ( 0 )x n + ..... =
                         1!                      n!            (9)
       ∞ 1 (n)
   = ∑        f ( 0 )x n .
      n=0  n!
   Формула (9) называется формулой Маклорена разложения функции f (x ) в точ-
ке x = 0 по степеням x .
                                           1
   Пример 6. Разложить функцию f(x) =           по формуле Тейлора в точке
                                         2 + 5x
x =3.
   Вычисляем производные функции f (x ) и увидев закономерность, запишем вы-
ражение для производной n-го порядка f (n)(x) :
           ( − 1 )5
     ′ =
   f (x)            ;
         ( 2 + 5x)2
                ( − 1 )( − 2 )5 2
    f ′′(x) =                     ;
                   ( 2 + 5x)3
                ( − 1 )( − 2 )( − 3 )53 .
    f ′′(x)
        ′ =
                       ( 2 + 5 x) 4

   Легко увидеть, что f (n)(x) имеет следующий вид:
             ( − 1 ) n n!5 n               ( − 1 ) n n!5 n .
    f n(x) =                  ⇒ f n( 3 ) =
             ( 2 + 5 x) n + 1                17 n + 1
   Подставляя f ( n ) ( 3 ) в формулу (9), получим :
             1 ∞                5 n
    f (x) =    ∑
            17 n=0
                   ( − 1) n (
                               17
                                  ) ( x − 3) n .

Страницы