Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

28
полученного выражения применяем (1), а функцию
tg(3)
x
также рассматриваем
как сложную и находим ее производную с помощью 4′):
( )
(
)
(
)
33
3
33
22
22
22
3323
tg(3)'tg(3)'()'
'()ln(tg(3))'
tg(3)tg(3)
(3)'3ln3
33
cos(3)cos(3)
.
tg(3)tg(3)cos(3)(tg(3))
xx
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
fxx
xx
xx
x
xxx
++
=+===
++
++
+
===
+++
Итак,
22
23
3ln33cos(3)
'()
cos(3)(tg(3))
xx
xx
x
fx
x
+
=
+
,
22
23
3ln33cos(3)
cos(3)(tg(3))
xx
xx
x
dfdx
x
+
=
+
Пример 2. Найти производную функции
2
()
1
x
fx
x
=
−
в точке x=2.
Решение. Функция представляет собой частное, поэтому применяем (4), а также
формулу производной степенной функции (для
1/2
xx
=
и для
2
x
):
2
'
1/222
22222
222
2222
1
(1)2
()'(1)(1)'
2
1(1)(1)
1413
.
2(1)2(1)
xxx
xxxxx
x
xxx
xxx
xxxx
−−

−−−
===

−−−

−−+
==−
−−
Вычисляем производную в заданной точке, для этого подставляем в найденное
выражение значение x=2:
2
22
13(2)13
'(2)
22(21)182
f
+⋅
==
−
.
Пример 3. Найти дифференциал функции
1cos
1cos
()
x
x
fx e
−
+
=
в произвольной
точке и в точке x=π/2.
Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции, воспользо-
вавшись формулами 7′), (4) и 2): 
                                          28


полученного выражения применяем (1), а функцию                tg(3x ) также рассматриваем
как сложную и находим ее производную с помощью 4′):

       f '( x) = ( ln(tg(3 ) + x ) ) ' =
                           x     3       ( tg(3 ) + x ) ' = ( tg(3 ) ) '+ ( x ) ' =
                                               x      3                     x       3


                                           tg(3 ) + x
                                                x         3
                                                               tg(3 ) + x       x   3


           (3x )'               3x ln3
                    + 3 x 2
                                          + 3x 2
             2
         cos (3 ) x                2
                              cos (3 ) x
                                                      3x ln 3 + 3x 2 cos2 (3x )
       =                    =                     =                             .
           tg(3x ) + x3          tg(3x ) + x3         cos2 (3x )(tg(3x ) + x3 )
                                      3x ln 3 + 3 x 2 cos 2 (3x )
                    Итак, f '( x ) =                              ,
                                     cos 2 (3x )(tg(3x ) + x3 )
                               3x ln 3 + 3x 2 cos 2 (3x )
                         df =                              dx
                               cos 2 (3x )(tg(3x ) + x3 )
                                                            x в точке x=2.
   Пример 2. Найти производную функции         f ( x) =
                                                          x −12

   Решение. Функция представляет собой частное, поэтому применяем (4), а также
                                      x = x1/ 2 и для x 2 ):
формулу производной степенной функции (для
                                            1
              '                                 ( x 2 − 1) − 2 x x
     x  ( x )'( x − 1) − ( x − 1)' x 2 x
                1/ 2 2              2

     2  =                             =                          =
     x − 1           ( x 2
                             − 1) 2
                                                  ( x 2
                                                        − 1) 2


                            x2 − 1 − 4 x 2        1 + 3x2
                       =                    = −                  .
                           2 x ( x 2 − 1) 2     2 x ( x 2 − 1) 2
   Вычисляем производную в заданной точке, для этого подставляем в найденное
выражение значение x=2:
                                     1 + 3 ⋅ (2) 2     13 .
                           f '(2) =                  =
                                    2 2(2 − 1) 18 2
                                            2      2

                                                                  1−cos x
   Пример 3. Найти дифференциал функции             f ( x) = e1+cos x в произвольной
точке и в точке x=π/2.
   Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции, воспользо-
вавшись формулами 7′), (4) и 2):

Страницы