Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

48
Теоремы о дифференцируемых функциях.
Будем считать, что функция
)(xfy
=
определена всюду в некоторой ок-
рестности точки c. Говорят, что функция )(xfy
=
возрастает (убывает) в
точке c, если найдется такая окрестность точки c, в пределах которой
)()( cfxf
>
при
c
x
>
и
)()( cfxf
<
при
c
x
(
)()( cfxf
<
при
c
x
>
и
)()( cfxf
>
при
c
x
<
).
Теорема 1. Если функция
)(xfy
=
дифференцируема в точке c и
0)(
>
′
cf
(
0)(
<
′
cf
), то эта функция возрастает (убывает) в точке c.
Говорят, что функция )(xfy
=
имеет в точке локальный максимум (ми-
нимум), если найдется такая окрестность точки c, в пределах которой значение
)(cf является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием
локальный экстремум.
Теорема 2 (Ферма). Если функция )(xfy
=
дифференцируема в точке c
и имеет в этой точке локальный экстремум, то 0)(
=
′
cf .
Точки из области определения функции, в которых производная существу-
ет и равна 0, называются стационарными.
Теорема 3 (Ролля). Пусть функция )(xfy
=
непрерывна на сегмента
],[ ba и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть,
кроме того, )(af = )(bf . Тогда внутри сегмента ],[ ba найдется точка ξ такая,
что значение производной в этой точке )ξ(f
′
равна нулю.
Теорема 4 (Лагранжа). Пусть функция )(xfy
=
непрерывна на сег-
мента ],[ ba и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, то
внутри сегмента ],[ ba найдется точка ξ такая, что справедлива формула
))(ξ()()( abfafbf
−
′
=
−
.
Далее можно утверждать, что найдется такое (зависящее от
x
∆
) число
θ
из интервала
<
<
θ
, что xx
∆
θ
+
=
0
ξ . Тогда можно записать формулу
Лагранжа в виде
)()()(
000
xxfxxfxxf
∆
∆
∆
θ
+
′
=
−
+
.
В таком виде формула Лагранжа называется формулой конечных прира-
щений. 
                                          48


                     Теоремы о дифференцируемых функциях.

          Будем считать, что функция y = f (x) определена всюду в некоторой ок-
рестности точки c. Говорят, что функция y = f (x) возрастает (убывает) в
точке c, если найдется такая окрестность точки c, в пределах которой
 f ( x) > f (c ) при x > c и f ( x) < f (c) при x < c ( f ( x) < f (c) при x > c и
f ( x) > f (c ) при x < c ).
       Теорема 1. Если функция y = f (x ) дифференцируема в точке c и
f ′(c) > 0 ( f ′(c) < 0 ), то эта функция возрастает (убывает) в точке c.
       Говорят, что функция y = f (x ) имеет в точке локальный максимум (ми-
нимум), если найдется такая окрестность точки c, в пределах которой значение
 f (c ) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием
локальный экстремум.
       Теорема 2 (Ферма). Если функция y = f (x ) дифференцируема в точке c
и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ′(c ) = 0 .
       Точки из области определения функции, в которых производная существу-
ет и равна 0, называются стационарными.
       Теорема 3 (Ролля). Пусть функция y = f (x ) непрерывна на сегмента
[ a, b]    и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть,
кроме того,  f (a ) = f (b) . Тогда внутри сегмента [ a, b] найдется точка ξ такая,
что значение производной в этой точке f ′(ξ ) равна нулю.
      Теорема 4 (Лагранжа). Пусть функция y = f (x ) непрерывна на сег-
мента [ a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, то
внутри сегмента [ a, b] найдется точка ξ такая, что справедлива формула
                              f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) .
      Далее можно утверждать, что найдется такое (зависящее от ∆x ) число θ
из интервала 0 < θ < 1 , что ξ = x0 + θ∆x . Тогда можно записать формулу
Лагранжа в виде
          f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ∆xf ′( x0 + θ∆x) .
     В таком виде формула Лагранжа называется формулой конечных прира-
щений.

Страницы