Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

49
Теорема 5. Если функция )(xfy
=
дифференцируема на интервале
),( ba и если всюду на этом интервале 0)(
=
′
xf , то функция )(xf является
постоянной на интервале ),( ba .
Теорема 6. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ),( ba функ-
ция )(xfy
=
не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и дос-
таточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположи-
тельной) всюду на этом интервале.
Теорема 7. Для того чтобы дифференцируемая на интервале ),( ba функ-
ция )(xfy
=
возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно чтобы про-
изводная этой функции была положительной (отрицательной) всюду на этом ин-
тервале.
Теорема 8 (Первое достаточное условие экстремума) Пусть точка c
является стационарной точкой функции )(xf . Тогда, если в некоторой окрест-
ности производная )(xf
′
положительна (отрицательна) слева от точки c и отри-
цательна (положительна) справа от точки c, то функция )(xf имеет в точке c
локальный максимум (минимум). Если же производная )(xf
′
имеет один и тот
же знак слева и справа от точки c, то экстремума в точке c нет.
Теорема 9 (Второе достаточное условие экстремума) Пусть функция
)(xf имеет в стационарной точке c конечную вторую производную. Тогда
функция )(xf имеет в точке c максимум, если 0)(
<
′
′
cf , и минимум, если
0)(
>
′
′
cf .
Теорема 10. Пусть функция )(xf дифференцируема всюду в некоторой
окрестности точки c, за исключением, быть может, самой точки c, и непрерывна в
точке c. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная )(xf
′
по-
ложительна (отрицательна) слева от точки c и отрицательна (положительна) спра-
ва от точки c, то функция )(xf имеет в точке c локальный максимум (мини-
мум). Если же производная )(xf
′
имеет один и тот же знак слева и справа от
точки c, то экстремума в точке c нет.
Будем говорить, что график функции )(xfy
=
имеет на интервале
),( ba выпуклость направленную вниз (вверх), если график этой функции в пре-
делах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.
Теорема 11. Если функция )(xf имеет на интервале ),( ba конечную
вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна) 
                                          49


         Теорема 5. Если функция  y = f (x ) дифференцируема на интервале
(a, b) и если всюду на этом интервале f ′( x) = 0 , то функция f (x) является
постоянной на интервале (a, b) .
      Теорема 6. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функ-
ция y = f (x ) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и дос-
таточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположи-
тельной) всюду на этом интервале.
      Теорема 7. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функ-
ция y = f (x ) возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно чтобы про-
изводная этой функции была положительной (отрицательной) всюду на этом ин-
тервале.
      Теорема 8 (Первое достаточное условие экстремума) Пусть точка c
является стационарной точкой функции f (x) . Тогда, если в некоторой окрест-
ности производная    f ′(x )   положительна (отрицательна) слева от точки c и отри-
цательна (положительна) справа от точки c, то функция         f (x) имеет в точке c
локальный максимум (минимум). Если же производная           f ′(x ) имеет один и тот
же знак слева и справа от точки c, то экстремума в точке c нет.
      Теорема 9 (Второе достаточное условие экстремума) Пусть функция
 f (x) имеет в стационарной точке c конечную вторую производную. Тогда
функция   f (x)   имеет в точке c максимум, если      f ′′(c) < 0 ,   и минимум, если
f ′′(c) > 0 .
      Теорема 10. Пусть функция f (x) дифференцируема всюду в некоторой
окрестности точки c, за исключением, быть может, самой точки c, и непрерывна в
точке c. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная f ′(x ) по-
ложительна (отрицательна) слева от точки c и отрицательна (положительна) спра-
ва от точки c, то функция f (x) имеет в точке c локальный максимум (мини-
мум). Если же производная f ′(x ) имеет один и тот же знак слева и справа от
точки c, то экстремума в точке c нет.
      Будем говорить, что график функции y = f (x ) имеет на интервале
(a, b) выпуклость направленную вниз (вверх), если график этой функции в пре-
делах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.
      Теорема 11. Если функция f (x) имеет на интервале (a, b) конечную
вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна)

Страницы