Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 51 стр.

                                               51


 симум, если   f ( n+1) (c) < 0 , и минимум, если f ( n+1) (c) > 0 .

                         Общая схема исследования функции

   Приведем план исследования дифференцируемой функции.
   1. Определить область определения функции.
   2. Выяснить, является данная функция четной или нечетной.
   3. Исследовать функцию на непрерывность, выяснить характер точек разрыва,
сделать вывод о наличии вертикальных асимптот.
   4. Исследовать функцию на наличие наклонных асимптот.
   5. Определить интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экс-
тремума с помощью первой производной, вычислить                y min   и   y max .
   6. С помощью второй производной найти интервалы выпуклости и вогнутости
функции и точки перегиба.
   7. Вычислить значение функции в некоторых контрольных точках (например,
значение функции в начале координат), точки пересечения с координатными осями.
   8. Построить график функции.

    Очевидно, что порядок следования пунктов может быть изменен при решении
каждой конкретной задачи.
                                                      3
    Пример 1. Построить график функции y = 2 x
                                                  x2 − 4
    1.      Функция определена и непрерывна при всех x∈ R, кроме точек x = ± 2.
    2.      Функция нечетна, т.к. y(-x) = -y(x), график функции симметричен отно-
сительно начала координат, поэтому достаточно провести исследование в интерва-
ле [0, ∞ ).
                                                                       2 x3
    3.      Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой, т.к. lim 2       = ∞.
                                                                 x →2 x − 4

    4.      Найдем наклонную асимптоту:
              2x2                                      8x
   k = lim           = 2 , b = lim ( y − 2 x) = lim 2       = 0, то есть данная кривая
       x →±∞ x 2 − 4           x →±∞            x →±∞ x − 4

имеет наклонную асимптоту y = 2x.
   5.    Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую

производную y ′ =
                    6 x 2 ( x 2 − 4) − 4 x 4 2 x 2 ( x 2 − 12)
                                            =                  .
                           ( x 2 − 2) 2        ( x 2 − 4) 2
   В промежутке [0,∞) функция обращается в нуль в точках x = 0, x = 2 3 и об-
ращается в бесконечность в точке x = 2.