Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

50
всюду на этом интервале, то график функции )(xfy
=
имеет на интервале
),( ba выпуклость, направленную вниз (вверх).
Теорема 12. Пусть вторая производная функции
)(xfy
=
непрерывна и
положительна (отрицательна) в точке c. Тогда существует такая окрестность точ-
ки c, в пределах которой график функции)
)(xfy
=
имеет выпуклость, направ-
ленную вниз (вверх).
Таким образом, направление выпуклости графика функции полностью ха-
рактеризуется знаком второй производной этой функции.
Точка
))(,( cfcM
графика функции
)(xfy
=
называется точкой пе-
региба этого графика, если существует такая окрестность точки c оси абсцисс, в
пределах которой график функции )(xfy
=
слева и справа от нее имеет раз-
ные направления выпуклости.
Теорема 13 (необходимое условие перегиба) Если график функции
)(xfy
=
имеет перегиб в точке ))(,( cfcM и если функция )(xfy
=
имеет в этой точке c непрерывную вторую производную, то 0)(
=
′
′
cf .
Теорема 14 (Первое достаточное условие перегиба) Пусть функция
)(xfy
=
имеет вторую производную в некоторой окрестности точки c и
0)(
=
′
′
cf . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная
)(xf
′
′
имеет разные знаки слева и справа от точки c, то график этой функции
имеет перегиб в точке ))(,( cfcM .
Теорема 15 (Второе достаточное условие перегиба) Если функция
)(xfy
=
имеет в точке c конечную третью производную и удовлетворяет в
этой точке условиям 0)(
=
′
′
cf и 0)(
≠
′
′
′
cf , то график этой функции имеет
перегиб в точке ))(,( cfcM .
Теорема 16 (Третье достаточное условие экстремума и перегиба)
Пусть n - некоторое целое положительное число, и пусть функция )(xfy
=
имеет в некоторой окрестности точки c производную порядка (n+1), причем ука-
занная производная непрерывна в самой точке c. Пусть далее, справедливы сле-
дующие соотношения:
0)(...)()(
)(
===
′′′
=
′′
cfcfcf
n
, 0)(
)1(
≠
+
cf
n
Тогда, если (n+1) - нечетное число, то график функции )(xfy
=
имеет перегиб
в точке ))(,( cfcM . Если же (n+1) - четное число и, кроме того, 0)(
=
′
cf ,
то функция )(xfy
=
имеет локальный экстремум в точке
c
x
=
, точнее, мак-
                                           50


всюду на этом интервале, то график функции          y = f (x )   имеет на интервале
(a, b)   выпуклость, направленную вниз (вверх).
       Теорема 12. Пусть вторая производная функции y = f (x) непрерывна и
положительна (отрицательна) в точке c. Тогда существует такая окрестность точ-
ки c, в пределах которой график функции) y = f (x ) имеет выпуклость, направ-
ленную вниз (вверх).
       Таким образом, направление выпуклости графика функции полностью ха-
рактеризуется знаком второй производной этой функции.
       Точка M (c, f (c )) графика функции y = f (x ) называется точкой пе-
региба этого графика, если существует такая окрестность точки c оси абсцисс, в
пределах которой график функции y = f (x ) слева и справа от нее имеет раз-
ные направления выпуклости.
       Теорема 13 (необходимое условие перегиба) Если график функции
 y = f (x ) имеет перегиб в точке M (c, f (c)) и если функция y = f (x )
имеет в этой точке c непрерывную вторую производную, то f ′′(c) = 0 .
      Теорема 14 (Первое достаточное условие перегиба) Пусть функция
 y = f (x ) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки c и
 f ′′(c) = 0 . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная
 f ′′(x ) имеет разные знаки слева и справа от точки c, то график этой функции
имеет перегиб в точке M (c, f (c)) .
         Теорема 15 (Второе достаточное условие перегиба) Если функция
y = f (x )    имеет в точке c конечную третью производную и удовлетворяет в
этой точке условиям    f ′′(c) = 0   и   f ′′′(c) ≠ 0 , то график этой функции имеет
перегиб в точке   M (c, f (c)) .

      Теорема 16 (Третье достаточное условие экстремума и перегиба)
Пусть n - некоторое целое положительное число, и пусть функция y = f (x )
имеет в некоторой окрестности точки c производную порядка (n+1), причем ука-
занная производная непрерывна в самой точке c. Пусть далее, справедливы сле-
дующие соотношения:
        f ′′(c) = f ′′′(c) = ... = f ( n ) (c) = 0 , f ( n+1) (c) ≠ 0
Тогда, если (n+1) - нечетное число, то график функции y = f (x ) имеет перегиб
в точке M (c, f (c)) . Если же (n+1) - четное число и, кроме того, f ′(c ) = 0 ,
то функция y = f (x ) имеет локальный экстремум в точке x = c , точнее, мак-

Страницы