Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

52
6. Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вто-
рую производную
2
23
16(12)
.
(4)
xx
y
x
+
′′
=
−
y'' обращается в нуль в точке x = 0 и в бесконечность в точке x = 2. Ясно, что в
интервале (0,2) y'' меньше нуля и поэтому функция выпукла вверх, а в интервале
(2,2
3
) и (2
3
,∞) y''>0 и функция выпукла вниз. Кроме того, точка x = 0 явля-
ется точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту
точку.
7. y
min
(2
3
) = 6
3
, y(0) = 0.
Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, получим
график (рис.1).
Рис.1. График функции
3
2
2
4
y
x
=
−
.
x
(0,2)
2
(2,2
3)
2
3
(23,)
∞
y
′
<0 <0 >0
y
↓
вып.
–-
↓
вогн.
min
↑
вогн.
y
′′
<0 >0 >0 
                                         52

   x              (0,2)          2
                                        (2,2       3)     2    3     (2 3, ∞)
       y′         <0                          <0                          >0
       y
              ↓    вып.
                                 –-
                                         ↓    вогн.
                                                           min
                                                                      ↑   вогн.
       y ′′       <0                          >0                          >0
   6.    Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вто-
рую производную y ′′ = 16 x ( x + 12) .
                               2


                          ( x 2 − 4)3
   y'' обращается в нуль в точке x = 0 и в бесконечность в точке x = 2. Ясно, что в
интервале (0,2) y'' меньше нуля и поэтому функция выпукла вверх, а в интервале
(2,2 3 ) и (2 3 ,∞) y''>0 и функция выпукла вниз. Кроме того, точка x = 0 явля-
ется точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту
точку.
    7.    ymin(2 3 ) = 6 3 ,            y(0) = 0.
    Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, получим
график (рис.1).




                                                        3
                           Рис.1. График функции y = 2 x .
                                                     2
                                                        x −4

Страницы