Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 54 стр.

                                             54

          Функции двух переменных. Частные производные. Полный диффе-
             ренциал. Производная по направлению. Градиент.
         Пусть даны два непустых множества D и E. Если каждой паре действи-
тельных чисел (х; у), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ста-
вится в соответствие один и только один элемент z из E, то говорят, что на :
множестве D задана функция f со множеством значений E. При этом пишут z = f(x,
у). Множество D называется областью определения функции, а множество E, со-
стоящее из всех чисел вида f (x , y ), где (х; y ) ∈ D , — множеством значений функ-
ции.
         Область определения функции z = f(x, у) в простейших случаях представляет
собой либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки границы
области могут принадлежать или не принадлежать области определения, либо всю
плоскость. Графиком функции z = f(x, у) в прямоугольной системе координат хОу
является некоторая поверхность.
         Аналогично определяется функция любого конечного числа независимых пе-
ременных y = f ( x1 , x 2 , K , x n ) .
         Линией уровня функции z = f(x, у) называется линия f (х, у) = С (C=const)
на плоскости хОу.
         Рассмотрим понятие частной производной функции на примере функции двух дейст-
вительных переменных. Для функций трех и более переменных данное понятие вводится анало-
гично.
         Частной производной от функции z = f(x, у) по переменной х называется конечный
предел
                                        f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) ∂z
                               lim                                  =
                               ∆x → 0              ∆x                 ∂x
        вычисленный при постоянном у.
        Частной производной от функции z = f(x, у) по переменной y называется конеч-
ный предел
                                        f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y ) ∂z
                               lim                                  =
                               ∆x → 0              ∆y                 ∂y
       вычисленный при постоянном x.
       Для частных производных справедливы обычные правила и формулы
дифференцирования.
       Пример1. Найти частные производные функции:
                            z = y 3 − 2 xy − 5 x 2 + sin xy − ln y
        Решение.
        Рассматривая у как постоянную величину, получим