Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 55 стр.

                                             55

                                ∂z
                                   = −2 y − 10 x 2 + y cos xy ;
                                ∂x
         Рассматривая x как постоянную величину, получим
                               ∂z                            1
                                  = −3 y 2 − 2 x + x cos xy − .
                               ∂y                            y
         Полным приращением функции z = f(x, у) в точке М (х; у) называется разность
                          ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) ,
         где ∆x, ∆y — произвольные приращения аргументов.
         Функция z = f(x, у) называется дифференцируемой в точке (х; у), если в этой точ-
ке полное приращение можно представить в виде
                                  ∆z = A∆x + B∆y + ο (ρ ) ,
         ο (ρ ) - бесконечно малая от ρ , ρ =     (∆x )2 + (∆y )2
         Полным дифференциалом функции z = f(x, у) называется главная часть полного
.приращения ∆z , т. е.
                                     ∆z = A∆x + B∆y

        Доказывается, что A =
                               ∂z
                                  (M ) , B = ∂z (M ) . Приращения переменных x и y
                               ∂x              ∂y
называются дифференциалами аргументов и обозначаются ∆x = dx, ∆y = dy .
         Таким образом, полный дифференциал функции z=f(x, у) вычисляется по формуле
                                             ∂z     ∂z
                                      ∆z =      dx + dy
                                             ∂x     ∂y
         Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u = f(x, у, z) вычисляет-
ся по формуле
                                       ∂u      ∂u      ∂u
                                ∆u =      dx +    dy +    dz
                                       ∂x      ∂y      ∂z
         Пример2. Найти полный дифференциал функции:
                                       z = 4x − 2x + y
         Решение.
         Найдем частные производные функции
                                      ∂z        1
                                         = 4−         ;
                                      ∂x      2x + y
                                      ∂z       1
                                         =−          .
                                      ∂y    2 2x + y