Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

5
7
ции в этой точке равны.
Производной функции z = f(x, у) в точке М(x, y) в направлении вектора
1
ММl =
называется конечный предел.
(
)
(
)
l
z
ММ
МfМf
MM
∂
∂
=
−
→
1
1
0
1
lim
Если функция /(х, у) дифференцируема, то ее производная в направле-
нии вектора
l
вычисляется по формуле
βα coscos
y
z
x
z
l
z
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
где
β
α
cos,cos
–– направляющие косинусы вектора
l
.
В случае функции трех переменных u = f(x, у, z) производная в данном
направлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид
γβα coscoscos
z
u
y
u
x
u
l
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
где
γ
β
α
cos,cos,cos
–– направляющие косинусы вектора
l
.
Градиентом функции z = f(x, у) в точке М(x, y) называется вектор с на-
чалом в точке М и координатами
( ) ( ) ( )
∂
∂
∂
∂
= M
y
z
M
x
z
Myxzgrad ;),(
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в дан-
ной точке.
В случае функции трех переменных u = f(x, у, z) градиент функции ра-
вен
( ) ( ) ( ) ( )
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= M
z
u
M
y
u
M
x
u
Mzyxugrad ;;),,(
Пример 4. Пусть
2
3
fxyxxyy
=−+
. Найти градиент функ-
ции в точке M(3;1), величину градиента функции в этой точке и производную
функции в той же точке по направлению
(1,2)
l =−
.
Решение. Предварительно находим частные производные функции пер-
вого порядка и их значения в заданной точке: 
                                         57

ции в этой точке равны.
        Производной функции z = f(x, у) в точке М(x, y) в направлении вектора
l = ММ 1 называется конечный предел.
                                         f (М 1 ) − f (М ) ∂z
                               lim                        =
                              MM 1 → 0       ММ 1           ∂l
       Если функция /(х, у) дифференцируема, то ее производная в направле-
нии вектора l вычисляется по формуле
                              ∂z ∂z      ∂z
                                = cos α + cos β
                              ∂l ∂x      ∂y

       где cos α , cos β –– направляющие косинусы вектора l .
       В случае функции трех переменных u = f(x, у, z) производная в данном
направлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид
        ∂u ∂u             ∂u         ∂u
           =    cos α +      cos β + cos γ
        ∂l ∂x             ∂y         ∂z
       где cosα , cos β , cos γ –– направляющие косинусы вектора l .
        Градиентом функции z = f(x, у) в точке М(x, y) называется вектор с на-
чалом в точке М и координатами
                                               ∂z
                       grad z ( x, y )(M ) =  (M );
                                                      ∂z
                                                         (M )
                                               ∂x    ∂y       
        Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в дан-
ной точке.
        В случае функции трех переменных u = f(x, у, z) градиент функции ра-
вен
                                            ∂u
                 grad u ( x, y, z )(M ) =  (M );
                                                   ∂u
                                                      (M ); ∂u (M )
                                            ∂x    ∂y       ∂z       

                           f ( x, y ) = 3 x 2 − 3xy + 8 y
       Пример 4. Пусть                               . Найти градиент функ-
ции в точке M(3;1), величину градиента функции в этой точке и производную
функции в той же точке по направлению l = ( −1, 2) .
        Решение. Предварительно находим частные производные функции пер-
               вого порядка и их значения в заданной точке:

Страницы