Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

59
Пример 5. Дана функция 13245
22
+−+−+= yxxyyxz и точка
(
)
99900011
0
,;,M . С помощью дифференциала вычислить приближенные значения
функции в данной точке. Оценить абсолютную погрешность вычислений.
Пусть 1
0
=x , 1
0
=y , тогда
001
0
,
x
∆
, 0010
,
y
∆
.
Вычислим приближенное значение функции:
(
)
(
)
(
)
(
)
y,zx,z;z,;,z
yx
∆
′
+∆
′
+≈ 11111199900011 .
Вычислим отдельно частные производные заданной функции:
3210 +−=
′
yxz
x
;
128 −−=
′
xyz
y
.
Вычислим значения функции и частных производных в точке
(
)
11; :
(
)
1011324511 =+−+−+=;z ;
(
)
11321011 =+−=
′
;z
x
;
(
)
512811 =−−=
′
;z
y
.
Тогда
(
)
.,,,
,,,;,z
006100050011010
001050010111099900011
=−+=
=⋅−⋅+≈
Погрешность вычислений :
016
0
005
0
011
0
001
0
5
001
0
11
,
,
,
,
,
z
⋅
⋅
δ
.
Ответ:
(
)
0061099900011 ,,;,z ≈ ,
016
0
,
z
δ
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
Упражнение 1. Дана функция
)
y
,
x
(
f
z
. Показать, что
0
2
2
2
2
2
=
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
)
yx
z
,
y
z
,
x
z
,
y
z
,
x
z
,z,y,x(F
.
1.
322
)yx(
y
z
−
=
;
2
11
y
z
y
z
yx
z
x
F −
∂
+
∂
=
;
2.
)xyarcsin(
y
z +=
3
2
;
22
y
y
z
xy
x
z
xF +
∂
∂
−
∂
∂
=
;
3.
)xyxln(z 12
22
+++=
;
2
2
2
2
y
z
x
z
F
∂
∂
+
∂
∂
=
; 
                                           59



         Пример 5. Дана функция z = 5 x 2 + 4 y 2 − 2 xy + 3x − y + 1 и точка
M 0 (1,001;0,999) . С помощью дифференциала вычислить приближенные значения
функции в данной точке. Оценить абсолютную погрешность вычислений.
         Пусть x0 = 1 , y 0 = 1 , тогда ∆x = 0,001 , ∆y = −0,001 .
         Вычислим приближенное значение функции:
          z (1,001;0,999) ≈ z (1;1) + z ′x (1,1)∆x + z ′y (1,1)∆y .
         Вычислим отдельно частные производные заданной функции:
         z ′x = 10 x − 2 y + 3 ;
         z ′y = 8 y − 2 x − 1 .
         Вычислим значения функции и частных производных в точке (1;1) :
         z (1;1) = 5 + 4 − 2 + 3 − 1 + 1 = 10 ;
         z ′x (1;1) = 10 − 2 + 3 = 11 ;
         z ′y (1;1) = 8 − 2 − 1 = 5 .
         Тогда
         z (1,001;0,999) ≈ 10 + 11 ⋅ 0,001 − 5 ⋅ 0,001 =
         = 10 + 0,011 − 0 ,005 = 10,006.
         Погрешность вычислений :
         δz = 11 ⋅ 0,001 + 5 ⋅ 0,001 = 0,011 + 0,005 = 0,016 .
                      Ответ: z (1,001;0,999) ≈ 10,006 , δz = 0,016 .

             ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
         Упражнение 1. Дана функция z = f ( x , y ) . Показать, что
              ∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z
 F( x, y ,z , , , 2 , 2 ,             )=0.
              ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y
               y           1 ∂z 1 ∂z z
1. z =           2 3 ; F =      +      −   ;
        (x − y )
             2
                           x ∂x y ∂y y 2
         y2                         ∂z   ∂z
2. z =      + arcsin( xy ) ; F = x 2 − xy + y 2 ;
         3x                         ∂x   ∂y
                                    ∂2 z ∂2 z
3. z = ln( x + y + 2 x + 1 ) ;
            2   2                 F= 2+ 2
                                    ∂x   ∂y           ;

Страницы