Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

58
( )
'
21/322/32'
22
3
3
22
3
123
(38)(38)(38);
3
3(38)
233131
()(3;1);
2
38
3(333181)
x
x
fxy
xxyyxxyyxxyy
x
xxyy
ff
M
xx
−
∂−
=−+=−+−+=
∂
−+
∂∂⋅−⋅
====
∂∂
−⋅⋅+⋅
( )
'
21/322/32'
3
2
2223
3
138
(38)(38)(38);
3
3(38)
338111
()(3;1).
3212
3(333181)38
y
y
fx
xxyyxxyyxxyy
y
xxyy
ff
M
yy
−
∂−+
=−+=−+−+=
∂
−+
∂∂−⋅+−
====−=−
∂∂⋅
−⋅⋅+⋅
Теперь воспользуемся формулами для градиента функции в точке и найдем
модуль полученного вектора
11
grad(,),
212
M
fxy
−

=


;
22
111137
grad(,)
212414412
M
fxy
−

=+=+=


.
Далее,
22
||(1)251
l
=−+=≠
, поэтому направляющие косинусы
вектора
l
равны
cos1/5
α =−
,
cos2/5
β =
. Вычисляем производную
функции
f
в точке М по направлению вектора
l
:
1(1)12113121
()
212
552565656535
f
M
l
∂−−−+−−
=⋅+⋅=+===
∂
Полный дифференциал функции нескольких переменных (в нашем слу-
чае двух) с успехом применяется в приближенных вычислениях при оценке по-
грешностей. Пусть, например, мы имеем функцию
(
)
y,xfz = двух переменных.
При определении значений независимых переменных
x
и
y
будем допускать
погрешности
x
∆
и
y
∆
соответственно. Тогда приближенное значение функции
вычисляется по формуле:
( ) ( )
y
y
z
x
x
z
y,xfyy,xxf ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+=∆+∆+
0000
.
Если через
z
δ
,
x
δ
,
y
δ
обозначить максимальные абсолютные погреш-
ности (или границы для абсолютных погрешностей), то y
y
z
x
x
z
z δ⋅
∂
∂
+δ⋅
∂
∂
=δ .
                                                             58

   ∂f                                                                                              2x − 3 y
         (                        )        1
                                      '
      = ( x 2 − 3xy + 8 y )1/ 3           = ( x 2 − 3xy + 8 y) −2 / 3 ( x 2 − 3xy + 8 y)'x =                        ;
   ∂x                                 x    3                                                 3 ( x − 3 xy + 8 y ) 2
                                                                                              3   2


                      ∂f        ∂f             2 ⋅ 3 − 3 ⋅1           3  1
                         ( M ) = (3;1) =                            = 3 = ;
                      ∂x        ∂x       3 (3 − 3 ⋅ 3 ⋅1 + 8 ⋅ 1)
                                          3  2                    2
                                                                     3 8 2

   ∂f                                                                                      −3x + 8
      = ( ( x2 − 3xy + 8 y)1/ 3 ) = ( x 2 − 3xy + 8 y )−2/ 3 ( x 2 − 3xy + 8 y )'y =
                                 ' 1
                                                                                                         ;
   ∂y                            y 3                                                 3 ( x − 3xy + 8 y)2
                                                                                      3   2


            ∂f        ∂f             −3 ⋅ 3 + 8           −1      1       1
               ( M ) = (3;1) =                          =     =−       =− .
            ∂y        ∂y       3 (3 − 3 ⋅ 3 ⋅1 + 8 ⋅1) 3 8
                                3  2                  2   3 2    3⋅ 22
                                                                         12
      Теперь воспользуемся формулами для градиента функции в точке и найдем
модуль полученного вектора
                                                                     1 −1 
                                                 gradf ( x, y ) M =  ,  ;
                                                                     2 12 
                                                1   −1 
                                                         2            2
                                                            1   1    37 .
                 gradf ( x, y ) M            =   +  =     +   =
                                                2   12  4 144   12
             Далее,   | l | = (−1) 2 + 22 = 5 ≠ 1 , поэтому направляющие косинусы
   вектора l равны      cosα = −1/ 5 , cos β = 2/ 5 . Вычисляем производную
   функции f в точке М по направлению вектора l :
         ∂f       1 (−1) 1 2   −1   1   −3 + 1 −2   −1
            (M ) = ⋅    + ⋅  =    +   =       =   =
         ∂l       2   5 12 5 2 5 6 5 6 5 6 5 3 5
           Полный дифференциал функции нескольких переменных (в нашем слу-
   чае двух) с успехом применяется в приближенных вычислениях при оценке по-
   грешностей. Пусть, например, мы имеем функцию z = f (x , y ) двух переменных.
   При определении значений независимых переменных x и y будем допускать
   погрешности ∆x и ∆y соответственно. Тогда приближенное значение функции
   вычисляется по формуле:
                                                                           ∂z      ∂z
              f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) = f (x0 , y 0 ) +                      ∆x +    ∆y           .
                                                                           ∂x      ∂y
             Если через δz , δx , δy обозначить максимальные абсолютные погреш-
                                                                                               ∂z        ∂z
   ности (или границы для абсолютных погрешностей), то δz =                                       ⋅ δx +    ⋅ δy .
                                                                                               ∂x        ∂y

Страницы