Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

56
Следовательно,
dy
yx
dx
yx
dz
+
−+
+
−=
22
1
2
1
4
Частными производными второго порядка
функции z = f(x, у)
называются частные
производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
2
2
x
z
x
z
x
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
;
2
2
y
z
y
z
y
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
;
yx
z
y
z
x ∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
2
;
xy
z
x
z
y ∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
2
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более вы-
сокого порядка.
Пример3. Найти полный дифференциал функции:
(
)
xyarctgz 2=
Решение.
Найдем частные производные первого порядка функции
22
41
2
yx
y
x
z
+
=
∂
∂
;
22
41
2
yx
x
y
z
+
=
∂
∂
.
Частные производные второго порядка:
( )
2
2
22
2
2
8
41
2
xy
yx
y
x
z
+
−=
∂
∂
;
( )
yx
yx
x
y
z
2
2
22
2
2
8
41
2
+
−=
∂
∂
(
)
( )
2
22
222
2
41
82412
yx
xyxyx
yx
z
+
−+
=
∂∂
∂
;
(
)
( )
2
22
222
2
41
82412
yx
xyxyx
xy
z
+
−+
=
∂∂
∂
.
Видим, что смешанные производные
yx
z
∂∂
∂
2
и
xy
z
∂∂
∂
2
равны. Имеет место
теорема о равенстве смешанных производных, смысл которой заключается в сле-
дующем: если функция дифференцируема дважды в точке и одна из ее смешан-
ных производных непрерывна в данной точке, то смешанные производные функ-
                                                      56

         Следовательно,
                                      1               1     
                           dz =  4 −         dx +  −        dy
                                            
                                      2x + y                 
                                                    2 2x + y 
         Частными производными второго порядка функции z = f(x, у) называются частные
производные от ее частных производных первого порядка.
         Обозначения частных производных второго порядка:
                               ∂  ∂z  ∂ 2 z                  ∂  ∂z  ∂ 2 z
                                   =                              =
                                                               ∂y  ∂y  ∂y 2
                                              ;                                 ;
                               ∂x  ∂x  ∂x 2
                               ∂  ∂z  ∂ 2 z   ∂  ∂z  ∂ 2 z
                                    =     ;    =         .
                               ∂x  ∂y  ∂x∂y ∂y  ∂x  ∂y∂x
         Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более вы-
сокого порядка.
         Пример3. Найти полный дифференциал функции:
                                                   z = arctg (2 xy )
         Решение.
         Найдем частные производные первого порядка функции
                                                 ∂z     2y
                                                    =             ;
                                                 ∂x 1 + 4 x 2 y 2
                                                 ∂z     2x
                                                    =             .
                                                 ∂y 1 + 4 x 2 y 2
         Частные производные второго порядка:
         ∂2z          2y                              ∂2z          2x
              =−                           8 xy 2 ;        =−                     8x 2 y
         ∂x 2
                (1 + 4x 2 y 2)           2
                                                      ∂y 2
                                                                 (
                                                              1 + 4x 2 y 2   )2


       ∂ z 2(1 + 4 x y ) − 2 x 8 xy
            2                   2    2                 2
             =
                     (1 + 4 x y )
                                                           ;
       ∂x∂y                              2   2 2


∂ z 2(1 + 4 x y ) − 2 x 8 xy
   2               2   2                     2
     =
            (1 + 4 x y )
                                .
∂y∂x                       2   2 2


                                          ∂2z   ∂2z
         Видим, что смешанные производные     и     равны. Имеет место
                                          ∂x∂y ∂y∂x
теорема о равенстве смешанных производных, смысл которой заключается в сле-
дующем: если функция дифференцируема дважды в точке и одна из ее смешан-
ных производных непрерывна в данной точке, то смешанные производные функ-

Страницы