Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

6
Элементарные функции, их свойства и графики
Область определения, основные свойства. При решении задач необходимо
использовать известные из школьного курса свойства основных элементарных
функций: показательной
x
axf =)( , логарифмической xxf
a
log)(
=
, тригономет-
рических xxf cos)(
=
, xxf sin)(
=
, xxf tg)(
=
, xxf ctg)(
=
, степенной
α
xxf =)( (и для любого вещественного показателя степени, и наиболее важные
частные случаи bkxxf
+
=
)( , cbxaxxf ++=
2
)( , xxf =)( ,
1
()fx
x
=
).
Пример 1. Найти область определения функции
4 2
4)( −= xxf .
Решение. Известно, что корень четной степени определен только при неотрица-
тельном подкоренном выражении. Таким образом, решая неравенство 04
2
≥−x ,
получаем, что
2
≥
x
или
2
−
≤
x
. Поэтому ),2[]2,()(
+∞
−
−∞
=
fD (использо-
вано стандартное обозначение для области определения функции f).
Одним из наиболее важных, часто учитывающихся в практических задачах,
свойств функции является ее четность или нечетность. Как известно, функция
)(xf называется четной (нечетной), если выполняются два условия: область
определения функции симметрична относительно начала координат и при любом x
из области определения справедливо равенство )()( xfxf
=
−
(соответственно,
)()( xfxf
−
=
−
).
Пример 2. Обладают ли свойством четности (нечетности) функции:
1)(
3
+= xxf на естественной области определения;
23)(
2
−= xxg на естественной области определения;
23)(
2
−= xxp при ]2;1[
−
∈
x ;
xxr =)( на естественной области определения;
xxx cos)(
=
ϕ
на естественной области определения.
Решение. В данном примере функция f(x) определена для всех вещественных
аргументов, т.е. D(f) симметрична относительно начала координат. Так как
11)()(
33
+−=+−=− xxxf , то очевидно, что )()( xfxf
≠
−
и )()( xfxf
−
≠
−
,
т.е. ни одним из интересующих свойств функция не обладает (такие функции назы-
ваются функциями общего вида). Функция g(x), область определения которой
также все множество вещественных чисел, является четной в силу равенства
)(232)(3)(
22
xfxxxf =−=−−=− . У функции p(x) область определения –
отрезок [-1;2], а у r(x) интервал );0[
+∞
. Эти множества не симметричны относи-
тельно начала координат, поэтому функции p(x), r(x) свойством четности и нечет-
                                               6


                     Элементарные функции, их свойства и графики
     Область определения, основные свойства. При решении задач необходимо
использовать известные из школьного курса свойства основных элементарных
функций: показательной f ( x) = a x , логарифмической f ( x ) = log a x , тригономет-
рических f ( x) = cos x , f ( x) = sin x , f ( x ) = tgx , f ( x ) = ctgx , степенной
f ( x) = xα (и для любого вещественного показателя степени, и наиболее важные
                                                                                       1
частные случаи f ( x ) = kx + b , f ( x) = ax 2 + bx + c , f ( x ) =    x , f ( x) =     ).
                                                                                       x
   Пример 1. Найти область определения функции f ( x) = 4 x 2 − 4 .
   Решение. Известно, что корень четной степени определен только при неотрица-
тельном подкоренном выражении. Таким образом, решая неравенство x 2 − 4 ≥ 0 ,
получаем, что x ≥ 2 или x ≤ −2 . Поэтому D( f ) = ( −∞,−2] ∪ [2, +∞) (использо-
вано стандартное обозначение для области определения функции f).
    Одним из наиболее важных, часто учитывающихся в практических задачах,
свойств функции является ее четность или нечетность. Как известно, функция
 f (x ) называется четной (нечетной), если выполняются два условия: область
определения функции симметрична относительно начала координат и при любом x
из области определения справедливо равенство f (− x ) = f ( x ) (соответственно,
 f (− x ) = − f ( x ) ).
    Пример 2. Обладают ли свойством четности (нечетности) функции:
    f ( x ) = x 3 + 1 на естественной области определения;
    g ( x) = 3x 2 − 2 на естественной области определения;
    p ( x ) = 3x 2 − 2 при x ∈ [−1;2] ;
   r ( x ) = x на естественной области определения;
   ϕ ( x ) = x cos x на естественной области определения.
   Решение. В данном примере функция f(x) определена для всех вещественных
аргументов, т.е. D(f) симметрична относительно начала координат. Так как
f (− x ) = (− x )3 + 1 = − x 3 + 1 , то очевидно, что f (− x ) ≠ f ( x ) и f (− x ) ≠ − f ( x) ,
т.е. ни одним из интересующих свойств функция не обладает (такие функции назы-
ваются функциями общего вида). Функция g(x), область определения которой
также все множество вещественных чисел, является четной в силу равенства
 f (− x ) = 3(− x) 2 − 2 = 3x 2 − 2 = f ( x ) . У функции p(x) область определения –
отрезок [-1;2], а у r(x) интервал [0;+∞) . Эти множества не симметричны относи-
тельно начала координат, поэтому функции p(x), r(x) свойством четности и нечет-

Страницы