Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 14 стр.

14                                                           Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä

                                    π                1
                                  tg + β ≈ 1 +
                                              β = 1 + 2β .                     (1.22)
                                    4     π           2
                                      cos
                                            4
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè (1.21) è (1.22), íàõîäèì
                                                   ε(1 + µ )
                                       α = 2β =                ≈ ε(1 + µ ) .   (1.23)
                                                   1 − εµ
 ïîñëåäíåé ôîðìóëå ó÷òåíî, ÷òî εµ << 1
                                       Ñèëà F, ðàñòÿãèâàþùàÿ êóáèê
                               (ðèñ. 1.10), ñîçäàåò íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå
                 F                        σ = F / l 2 . Ýòî íàïðÿæåíèå ïåðåäàåòñÿ íà
                                          ãðàíè AB è BC ïàðàëëåëåïèïåäà, îäíàêî
                                          ñèëû, äåéñòâóþùèå íà êàæäóþ èç ãðàíåé,
                                          èìåþò íå òîëüêî íîðìàëüíóþ ê ãðàíè, íî è
               B
      F                       F           íàïðàâëåííóþ âäîëü ãðàíè ñîñòàâëÿþùóþ
      2                       2
                      Fτ                  Fτ. Êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå îêàçûâàåòñÿ ïðè
                                          ýòîì ðàâíûì
                             l´
A                                     Ñ     1                 π
           Ðèñ. 1.10                          ⋅ σ ⋅ l ⋅ l cos
                                    Fτ      2                 4  σ
                              στ =        =                     = . (1.24)
                                   l ⋅ l′          l ⋅ l′        2
Ïîñêîëüêó äåôîðìàöèè ε â ôîðìóëå (1.23) ïðîïîðöèîíàëüíû íàïðÿæåíè-
ÿì, à σ = 2σ τ , òî

                                                            2(1 + µ )
                                                   α=
                                                στ .              (1.25)
                                            E
Ñðàâíèâàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ ñîîòíîøåíèåì (1.20) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
γ = tgα ≈ α , íàõîäèì èñêîìóþ ñâÿçü ìåæäó ìîäóëÿìè Þíãà è ñäâèãà:
                                                                E      .       (1.26)
                                                     G=
                                                             2(1 + µ )
       Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî âåëè-
÷èíà è íàïðàâëåíèå ñèëû, ïðèëîæåííîé ê íåêîòîðîé ïëîùàäêå, çàâèñÿò îò
îðèåíòàöèè è âåëè÷èíû ýòîé ïëîùàäêè. Òàê, íà ãðàíü l × l êóáà äåéñòâóåò
ñèëà F, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê ãðàíè, â òî âðåìÿ êàê íà ãðàíü ïàðàëëåëåïèïåäà
l × l ′ äåéñòâóåò ñèëà F/2, íàïðàâëåííàÿ ïîä óãëîì 45 o ê ýòîé ãðàíè. Ýòîò
÷àñòíûé âûâîä ïîëó÷èò äàëåå îáîáùåíèå ïðè îáñóæäåíèè ñïîñîáîâ çàäàíèÿ
ñèë, äåéñòâóþùèõ íà êàæäûé èç ýëåìåíòîâ òåëà.
         Ïîñìîòðèì, ÷òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ òåì æå êóáèêîì, åñëè åãî ðàñòÿ-
ãèâàòü îäíîâðåìåííî ñèëàìè, ïðèëîæåííûìè êî âñåì åãî ãðàíÿì. Â ýòîì ñëó-
÷àå îòíîñèòåëüíûå óäëèíåíèÿ êàæäîãî èç åãî ðåáåð áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ñîîò-
íîøåíèÿìè:
                             σ1 ε 2  ε   σ − (σ 2 + σ 3 ) / µ
                      ε1 =     −    − 3 = 1                   ,
                             E   µ    µ          E