Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 16 стр.

16                                                      Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ëåæàùèå âûøå ýòîé ëèíèè, ñæèìàþòñÿ (â íèõ âîçíèêàþò ñæèìàþùèå íàïðÿ-
æåíèÿ). Ìåæäó ðàñòÿíóòûìè è ñæàòûìè âîëîêíàìè íàõîäèòñÿ íåéòðàëüíûé
ñëîé. Ïðè ýòîì äâà ïåðâîíà÷àëüíî ïàðàëëåëüíûõ è íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè
dx äðóã îò äðóãà ñå÷åíèÿ ïðè èçãèáå îáðàçóþò íåêîòîðûé óãîë dϕ . Äëÿ óäîáñòâà
îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé ñâÿæåì ñî ñòåðæíåì ñèñòå-
ìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â íåêîòîðîé òî÷êå Î íåéòðàëüíîé ëèíèè Î1Î2 è îñÿìè
x è y, íàïðàâëåííûìè âäîëü íåéòðàëüíîé ëèíèè è â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ñîîò-
âåòñòâåííî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äåôîðìàöèè â íåêîòîðîì ñå÷åíèè x = const ëèíåé-
íî íàðàñòàþò âäîëü îñè y îò ε 1 < 0 äî ε 2 > 0 . Ýòî äàåò îñíîâàíèå â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ çàêîíîì Ãóêà çàïèñàòü ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé â âèäå
                             σ( x , y ) = κ ( x ) ⋅ y ,                 (1.30)
ãäå κ — íåèçâåñòíûé êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, ìåíÿþùèéñÿ, âî-
îáùå ãîâîðÿ, îò ñå÷åíèÿ ê ñå÷åíèþ. Ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé (1.30) â ïðî-
èçâîëüíîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ ìîæíî èçîáðàçèòü ãðàôè÷åñêè. Äëÿ ýòîãî â êàæ-
äîé òî÷êå ñå÷åíèÿ ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåìó âåêòîð, ìîäóëü êîòî-
ðîãî ðàâåí ñèëå, äåéñòâóþùåé íà ïëîùàäêó dS: df = σ⋅dS (ðèñ. 1.12à), ò.å.
σ = df / dS.
       Ðàññìîòðèì ðàâíîâåñèå ÷àñòè áàëêè, ðàñïîëîæåííîé ñëåâà îò ñå÷å-
íèÿ. Íà÷àëî êîîðäèíàò ïîìåñòèì â ïëîñêîñòè, âäîëü êîòîðîé äåéñòâóåò ñèëà
ðåàêöèè îïîðû.
       Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áàëêà èìååò âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü ñèììåòðèè,
êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 1.12 á, è âíåøíèå ñèëû ëåæàò â ýòîé ïëîñêîñòè.
Íåéòðàëüíûé ñëîé ïåðåñåêàåò ñå÷åíèå áàëêè ïî ïðÿìîé n1n2. Äëÿ ðàâíîâåñèÿ
âûäåëåííîé ÷àñòè áàëêè íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå èçâåñ-
òíûå èç ñòàòèêè óñëîâèÿ.
       Âî-ïåðâûõ, ñóììà âñåõ ãîðèçîíòàëüíûõ ñèë äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ, ò.å.

                           ∫ df   =   ∫ σ ⋅ dS = κ( x )∫ ydS = 0 .                (1.31)
Ïîñêîëüêó èíòåãðàë (1.31) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ
áàëêè, òî ïîíÿòíî, ÷òî íåéòðàëüíàÿ îñü n1n2, íà êîòîðîé ëåæèò íà÷àëî êîîð-
äèíàò, äîëæíà ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð ìàññ ýòîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
       Âî-âòîðûõ, ñóììà âñåõ âåðòèêàëüíûõ ñèë ìîæåò áûòü ðàâíà íóëþ, åñëè
â ñå÷åíèè, êðîìå íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé, áóäóò äåéñòâîâàòü è êàñàòåëüíûå
íàïðÿæåíèÿ στ, ÷òîáû ñêîìïåíñèðîâàòü ñèëó ðåàêöèè îïîðû N, ò.å.


                                                F
                              σ1


        O                                           x                    n1         n2
O1
                                                                     y
                              dS           df
            N
                                        σ2                           dy             dS

         y             à                                                  á   y
                                         Ðèñ. 1.12