Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 18 стр.

18                                                         Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
áàëêè ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ äîñòèãàåòñÿ ýôôåêòèâíåå çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ
åå âûñîòû h.
       Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòàòü èñêðèâëåíèå îñåâîé ëè-
íèè áàëêè. Ýëåìåíòàðíûé óãîë dϕ , íà êîòîðûé ïîâåðíóëèñü ñå÷åíèÿ x è x + dx,
î÷åâèäíî, ñâÿçàí ñ äâóìÿ äåôîðìàöèÿìè ε 1 < 0 è ε 2 > 0 êðàéíèõ âîëîêîí
ñîîòíîøåíèåì
                                     (ε 2 − ε 1 )dx   1 (σ 2 − σ 1 )dx
                              dϕ =                  =                  ,           (1.41)
                                       y 2 − y1       E y 2 − y1
ãäå y2 – y1 — ðàññòîÿíèå ìåæäó êðàéíèìè âîëîêíàìè. Ïîäñòàâëÿÿ â (1.41)
íàïðÿæåíèå (1.38), ïîëó÷èì
                                    1 σ 2 − σ1      M( x)
                             dϕ =              dx =       dx .                     (1.42)
                                    E y 2 − y1      E⋅J
                                                       ÷àñòíîñòè, ëåãêî ðàññ÷èòàòü èçãèá
                                 u(x)                 íåâåñîìîé ãîðèçîíòàëüíîé áàëêè,
                                              x
                                                      âûñòóïàþùåé èç ñòåíû (êîíñîëüíîé
                                                      áàëêè) íà ðàññòîÿíèå l , ê êîíöó
             l
                                         F            êîòîðîé ïðèëîæåíà âåðòèêàëüíàÿ
                                                      ñèëà F (ðèñ. 1.14). Êàê ñëåäóåò èç
                 Ðèñ. 1.14                            (1.42), â ïðîèçâîëüíîì ñå÷åíèè x
                                  F (l − x )
                                     dϕ =    dx .                (1.43)
                                    E⋅J
Åñëè îñü áàëêè â êàæäîì ñå÷åíèè ñìåñòèëàñü âíèç íà ðàññòîÿíèå u(x), òî,
î÷åâèäíî, óãîë íàêëîíà íåéòðàëüíîé ëèíèè áàëêè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè â
ñå÷åíèè x
                                                          du
                                ϕ(x) ≈ tgϕ(x) =
                                                          dx x .                  (1.44à)

 ñå÷åíèè x + dx óãîë íàêëîíà ñòàíîâèòñÿ íåñêîëüêî áîëüøå:
                                                        du
                                    ϕ( x + dx) =
                                                        dx x + dx .               (1.44á)

Ïðèðàùåíèå ýòîãî óãëà

                                                                   d2 u
                             dϕ = ϕ( x + dx) − ϕ( x) =
                                                    dx .                           (1.45)
                                               dx 2
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè (1.45) è (1.43), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:

                                       d2u            F(l − x)
                                                  =            .  (1.46)
                                          2             EJ
                               dx
Èíòåãðèðóÿ äâà ðàçà ïðè óñëîâèè, ÷òî u(0)=0 (êîíåö çàêðåïëåí), ïîëó÷àåì
èñêîìîå èñêðèâëåíèå áàëêè â âèäå

                                          F  lx 2   x3 
                                 u(x) =           −    
                                          EJ  2    6  .                        (1.47)