Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

17
Ëåêöèÿ 1
NdS=
∫
σ
τ
. (1.32)
 áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïðè èçãèáå ìàëû ïî ñðàâíå-
íèþ ñ íîðìàëüíûìè è ïðè ðàñ÷åòå áàëêè íà ïðî÷íîñòü íå ó÷èòûâàþòñÿ.
Â-òðåòüèõ, ñóììà ìîìåíòîâ âñåõ ñèë îòíîñèòåëüíî ëþáîé òî÷êè äîë-
æíà áûòü ðàâíà íóëþ. Åñëè â êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âûáðàòü öåíòð ìàññ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîãî ñå÷åíèÿ, òî ýòî óñëîâèå çàïèøåòñÿ â âèäå:
Nx ydS⋅− ⋅⋅ =
∫
σ 0
. (1.33)
Åñëè ïîäñòàâèòü ñþäà ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé (1.30), â êîòîðîì êîýôôè-
öèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
κ
σ
()
()
x
x
y
=
2
2
(y
2
- ðàññòîÿíèå ìåæäó íåéòðàëü-
íûì ñëîåì è íàèáîëåå ðàñòÿíóòûì íèæíèì âîëîêíîì), òî ìû ïðèõîäèì ê
óñëîâèþ
Mx
x
y
ydS
x
y
J()
() ()
==
∫
σσ
2
2
2
2
2
, (1.34)
ãäå
JydS=
∫
2
(1.35)
 ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè n
1
n
2
,
M(x) = N⋅x  ìîìåíò ñèëû ðåàêöèè.
Îòíîøåíèå J/y
2
çàâèñèò îò ðàç-
ìåðîâ è ôîðìû ñå÷åíèÿ è íàçûâàåòñÿ
îñåâûì ìîìåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ:
I
J
y
=
2
, (1.36)
à óðàâíåíèå (1.34) ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
MI=⋅σ
2
. (1.37)
Äëÿ ðàñ÷åòà ïðî÷íîñòè áàëîê
íåîáõîäèìî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå íà-
ïðÿæåíèé
σ
, âîçíèêàþùèõ ïðè èçâå-
ñòíûõ ìîìåíòàõ âíåøíèõ ñèë. Îíî ìî-
æåò áûòü ïîëó÷åíî èç (1.34) â âèäå
σ(,)
()
xy
Mx
J
y=
. (1.38)
Ìîìåíòû èíåðöèè ïðÿìîóãîëüíîãî è êðóãëîãî ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ðàâíû
Jbh=
1
12
3
,
Jd
o
=
1
64
4
π
, (1.39)
à ñîîòâåòñòâóþùèå èì îñåâûå ìîìåíòû ñîïðîòèâëåíèÿ 
Ibh d
o
==
1
6
1
32
23
, I π
. (1.40)
Èç (1.37) ñëåäóåò, ÷òî ïðî÷íîñòü áàëîê âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè
îñåâîãî ìîìåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðè÷åì, êàê ñëåäóåò èç (1.40), ïðî÷íîñòü
h
bd
Ðèñ. 1.13
Ëåêöèÿ 1                                                                            17

                                        N=   ∫ σ τdS .                          (1.32)
 áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïðè èçãèáå ìàëû ïî ñðàâíå-
íèþ ñ íîðìàëüíûìè è ïðè ðàñ÷åòå áàëêè íà ïðî÷íîñòü íå ó÷èòûâàþòñÿ.
      Â-òðåòüèõ, ñóììà ìîìåíòîâ âñåõ ñèë îòíîñèòåëüíî ëþáîé òî÷êè äîë-
æíà áûòü ðàâíà íóëþ. Åñëè â êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âûáðàòü öåíòð ìàññ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîãî ñå÷åíèÿ, òî ýòî óñëîâèå çàïèøåòñÿ â âèäå:
                                   N ⋅ x − ∫ σ ⋅ y ⋅ dS = 0 .                   (1.33)
Åñëè ïîäñòàâèòü ñþäà ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé (1.30), â êîòîðîì êîýôôè-
                                        σ 2 ( x)
öèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè κ( x) =                 (y2 - ðàññòîÿíèå ìåæäó íåéòðàëü-
                                          y2
íûì ñëîåì è íàèáîëåå ðàñòÿíóòûì íèæíèì âîëîêíîì), òî ìû ïðèõîäèì ê
óñëîâèþ
                                        σ 2 (x)           σ (x)
                             M( x ) =
                                          y2    ∫ y 2 dS = 2
                                                           y2
                                                                J,              (1.34)

ãäå
                                                       2
                                             J=   ∫y       dS                   (1.35)
— ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè n1n2,
M(x) = N⋅x — ìîìåíò ñèëû ðåàêöèè.
       Îòíîøåíèå J/y2 çàâèñèò îò ðàç-
ìåðîâ è ôîðìû ñå÷åíèÿ è íàçûâàåòñÿ
îñåâûì ìîìåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ:
                       J
                 I=                           h
                      y2 ,        (1.36)

à óðàâíåíèå (1.34) ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
               M = σ2 ⋅ I .     (1.37)
       Äëÿ ðàñ÷åòà ïðî÷íîñòè áàëîê
íåîáõîäèìî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå íà-                              b               d
ïðÿæåíèé σ , âîçíèêàþùèõ ïðè èçâå-                                  Ðèñ. 1.13
ñòíûõ ìîìåíòàõ âíåøíèõ ñèë. Îíî ìî-
æåò áûòü ïîëó÷åíî èç (1.34) â âèäå
                                       M( x)
                                   σ( x, y ) =
                                             y.                     (1.38)
                                         J
       Ìîìåíòû èíåðöèè ïðÿìîóãîëüíîãî è êðóãëîãî ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ðàâíû
                                1              1
                                J=bh 3 , J o =    πd 4 ,                        (1.39)
                               12              64
à ñîîòâåòñòâóþùèå èì îñåâûå ìîìåíòû ñîïðîòèâëåíèÿ —
                                  1               1
                                  I=bh 2 , I o =    πd 3 .         (1.40)
                                  6              32
       Èç (1.37) ñëåäóåò, ÷òî ïðî÷íîñòü áàëîê âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè
îñåâîãî ìîìåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðè÷åì, êàê ñëåäóåò èç (1.40), ïðî÷íîñòü

Страницы