Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
22
fdS
11 11 1
=σ ;
fdS
21 21 1
=σ ; (1.56)
fdS
31 31 1
=σ .
Çäåñü èíäåêñû óêàçûâàþò íà òî, ÷òî
ñèëû ïðèëîæåíû ê ïëîùàäêå, ïåðïåí-
äèêóëÿðíîé x
1
è äåéñòâóþò â íàïðàâ-
ëåíèè îñè x
1
(σ
11
 íîðìàëüíîå íà-
ïðÿæåíèå) è îñåé x
2
è x
3
( σ
21
, σ
31
ñîîòâåòñòâóþùèå òàíãåíöèàëüíûå íà-
ïðÿæåíèÿ).
Àíàëîãè÷íî, íî ñ äðóãèìè
èíäåêñàìè, çàïèñûâàþòñÿ ìîäóëè
ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ïëîùàäêàì dS
2
è dS
3
. Ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âûäåëåííûé îáúåì, çàâèñèò êàê îò îðè-
åíòàöèè ïëîùàäîê, îãðàíè÷èâàþùèõ ýòîò îáúåì, òàê è îò âíóòðåííèõ íàïðÿ-
æåíèé â òîé îáëàñòè, ãäå íàõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàåìûé îáúåì. Ýòè íàïðÿæå-
íèÿ îïèñûâàþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ äåâÿòè âåëè÷èí σ
ik
(i, k = 1,2,3), êîòîðûå
ñîñòàâëÿþò òåíçîð íàïðÿæåíèé. Â óïðóãèõ òåëàõ äåôîðìàöèè ïðîïîðöèîíàëü-
íû ñîîòâåòñòâóþùèì íàïðÿæåíèÿì. Òàêèì îáðàçîì, ñëîæíûå äåôîðìàöèè
óïðóãèõ òåë îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé, ñâÿçûâàþùèõ êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîðìàöèé è òåíçîðà íàïðÿæåíèé.
Ìàòåðèàëüíûå ñâîéñòâà èçîòðîïíûõ ñðåä ïðåäñòàâëåíû, êàê ïðàâèëî, êîýô-
ôèöèåíòîì Ïóàññîíà µ (1.4) è ìîäóëåì âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ k (1.29). Àíàëèç
òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò íå òîëüêî ðàññ÷èòàòü äåôîðìàöèþ òåë,
íî è îòâåòèòü íà âîïðîñ, óñòîé÷èâû ýòè äåôîðìàöèè èëè íåò.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ñòåðæíÿ
ïðè åãî ïðîäîëüíîì ñæàòèè ñèëîé F (ðèñ. 1.20). Ïðè ìàëûõ ñæèìàþùèõ ñèëàõ
ñæàòàÿ ñòîéêà íàõîäèòñÿ â óñòîé÷èâîì ðàâíîâåñèè, òàê êàê ïðè ìàëîì ñëó÷àé-
íîì îòêëîíåíèè îò âåðòèêàëè ñòîéêà, òåì íå ìåíåå, äîñòàòî÷íî áûñòðî âîçâðà-
ùàåòñÿ â âåðòè-
êàëüíîå ïîëîæåíèå.
Ñ óâåëè÷åíèåì íà-
ãðóçêè ñëó÷àéíûå
îòêëîíåíèÿ èñ÷åçà-
þò ìåäëåííåå. Ïðè
F = F
êð
íàñòóïàåò
ñîñòîÿíèå áåçðàç-
ëè÷íîãî ðàâíîâå-
ñèÿ: ïðÿìîëèíåé-
íàÿ ôîðìà åùå óñ-
òîé÷èâà, íî óñòîé-
÷èâûì óæå áóäåò è
èçîãíóòîå ñîñòîÿ-
íèå ñòåðæíÿ (ïóí-
êòèð íà ðèñ. 1.20á).
Òàêîå ðàçäâîåíèå
Ðèñ. 1.20
a
áâ
Ðèñ. 1.19
0
F<F
êð êð êð
F=F F>F
x
x
f
f
f
dS
x
1
3
2
1
21
11
31
22                                            Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä

        x1                                              f11 = σ 11dS1 ;
                        f 11                            f 21 = σ 21dS1 ;   (1.56)

                 dS1             f 31                 f 31 = σ 31dS1 .
                                        Çäåñü èíäåêñû óêàçûâàþò íà òî, ÷òî
                                        ñèëû ïðèëîæåíû ê ïëîùàäêå, ïåðïåí-
                                        äèêóëÿðíîé x1 è äåéñòâóþò â íàïðàâ-
             f 21
                                        ëåíèè îñè x1 ( σ 11 — íîðìàëüíîå íà-
                                   x3ïðÿæåíèå) è îñåé x2 è x3 ( σ 21 , σ 31 —
             0                       ñîîòâåòñòâóþùèå òàíãåíöèàëüíûå íà-
x2                                   ïðÿæåíèÿ).
                                            Àíàëîãè÷íî, íî ñ äðóãèìè
                                     èíäåêñàìè, çàïèñûâàþòñÿ ìîäóëè
               Ðèñ. 1.19
                                     ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ïëîùàäêàì dS2
è dS3. Ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âûäåëåííûé îáúåì, çàâèñèò êàê îò îðè-
åíòàöèè ïëîùàäîê, îãðàíè÷èâàþùèõ ýòîò îáúåì, òàê è îò âíóòðåííèõ íàïðÿ-
æåíèé â òîé îáëàñòè, ãäå íàõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàåìûé îáúåì. Ýòè íàïðÿæå-
íèÿ îïèñûâàþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ äåâÿòè âåëè÷èí σ ik (i, k = 1,2,3), êîòîðûå
ñîñòàâëÿþò òåíçîð íàïðÿæåíèé. Â óïðóãèõ òåëàõ äåôîðìàöèè ïðîïîðöèîíàëü-
íû ñîîòâåòñòâóþùèì íàïðÿæåíèÿì. Òàêèì îáðàçîì, ñëîæíûå äåôîðìàöèè
óïðóãèõ òåë îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé, ñâÿçûâàþùèõ êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîðìàöèé è òåíçîðà íàïðÿæåíèé.
Ìàòåðèàëüíûå ñâîéñòâà èçîòðîïíûõ ñðåä ïðåäñòàâëåíû, êàê ïðàâèëî, êîýô-
ôèöèåíòîì Ïóàññîíà µ (1.4) è ìîäóëåì âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ k (1.29). Àíàëèç
òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò íå òîëüêî ðàññ÷èòàòü äåôîðìàöèþ òåë,
íî è îòâåòèòü íà âîïðîñ, óñòîé÷èâû ýòè äåôîðìàöèè èëè íåò.
         êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè ñòåðæíÿ
ïðè åãî ïðîäîëüíîì ñæàòèè ñèëîé F (ðèñ. 1.20). Ïðè ìàëûõ ñæèìàþùèõ ñèëàõ
ñæàòàÿ ñòîéêà íàõîäèòñÿ â óñòîé÷èâîì ðàâíîâåñèè, òàê ê àê ïðè ìàëîì ñëó÷àé-
íîì îòêëîíåíèè îò âåðòèêàëè ñòîéêà, òåì íå ìåíåå, äîñòàòî÷íî áûñòðî âîçâðà-
     a                                                     ùàåòñÿ â âåðòè-
                       á                     â
                                                           êàëüíîå ïîëîæåíèå.
                                                           Ñ óâåëè÷åíèåì íà-
        FFêð      ãðóçêè ñëó÷àéíûå
                                                           îòêëîíåíèÿ èñ÷åçà-
                                                           þò ìåäëåííåå. Ïðè
                                                           F = Fêð íàñòóïàåò
                                                           ñîñòîÿíèå áåçðàç-
                                                           ëè÷íîãî ðàâíîâå-
                                                           ñèÿ: ïðÿìîëèíåé-
                                                           íàÿ ôîðìà åùå óñ-
                                                           òîé÷èâà, íî óñòîé-
                                                           ÷èâûì óæå áóäåò è
                                                           èçîãíóòîå ñîñòîÿ-
                                                           íèå ñòåðæíÿ (ïóí-
                                                           êòèð íà ðèñ. 1.20á).
                                                           Òàêîå ðàçäâîåíèå
                      Ðèñ. 1.20

Страницы