Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

23
Ëåêöèÿ 1
ðàâíîâåñèÿ, õàðàêòåðèçóþ-
ùååñÿ äâóìÿ åãî ôîðìàìè,
íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèåé.
Íîâàÿ êðèâîëèíåéíàÿ ôîð-
ìà ðàâíîâåñèÿ ïðè F > F
êð
áóäåò óñòîé÷èâîé. Îäíàêî â
ýòîì ñëó÷àå â ñòîéêå âîçíè-
êàþò íåäîïóñòèìî áîëüøèå
èçãèáû è íàïðÿæåíèÿ.
Çàäà÷à î âûïó÷èâà-
íèè ñòåðæíÿ ïðè ïðîäîëü-
íîì ñæàòèè áûëà ðåøåíà â
XVIII âåêå âûäàþùèìñÿ
ìàòåìàòèêîì Ëåîíàðäîì
Ýéëåðîì. Ðàññ÷èòàåì, ñëå-
äóÿ Ýéëåðó, çíà÷åíèå êðè-
òè÷åñêîé ñèëû F
êð
è ôîðìó èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ, êîãäà ïîñëåäíèé øàðíèðíî
çàêðåïëåí çà îáà êîíöà (ðèñ. 1.21).
Ôîðìà èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ u(x) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç óðàâíåíèÿ
(1.46), â êîòîðîì âìåñòî ìîìåíòà ïîïåðå÷íîé ñèëû
Fx()l −
äëÿ ïðîèçâîëü-
íîãî ñå÷åíèÿ x = const ñëåäóåò çàïèñàòü ìîìåíò ñäàâëèâàþùåé ñèëû â âèäå
M = F⋅u. Òîãäà óðàâíåíèå (1.46) ïðèìåò âèä:
du
dx
Fu
EJ
2
2
=−
⋅
. (1.57)
Åñëè îáîçíà÷èòü
q
F
EJ
2
=
è îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî óðàâíåíèå (1.57)
àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, òî ìîæíî çàïèñàòü
ux u qx() sin( )=+
0
Φ
. (1.58)
Èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ u(0) = 0 ñëåäóåò, ÷òî
Φ=0
. Èç äðóãîãî ãðàíè÷íîãî
óñëîâèÿ
u( )l = 0
ñëåäóåò
sin q = 0l
, èëè
q
n
n
=
π
l
; n=1, 2, 3... (1.59)
Êàæäîìó çíà÷åíèþ q
n
ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ êîíôèãóðàöèÿ èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ,
ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñèíóñîèäó, èìåþùóþ n ïîëóâîëí. Ýòè êîíôèãóðàöèè
âîçíèêàþò ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ ñèë, ðàâíûõ
Fn
EJ
n
=
2
2
2
π
l
. (1.60)
Ïðè n = 1 ôîðìóëà (1.60) äàåò çíà÷åíèå êðèòè÷åñêîé ñèëû
F
EJ
êð
=
π
2
2
l
. (1.61)
Ýòà ôîðìóëà áûëà ïîëó÷åíà Ýéëåðîì è íîñèò åãî èìÿ.
Äðóãèå èñêðèâëåííûå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ (n = 2, 3...) ÿâëÿþòñÿ íåóñ-
òîé÷èâûìè, îäíàêî îíè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû, åñëè ñòåðæåíü äîïîëíè-
òåëüíî çàêðåïèòü øàðíèðíûìè îïîðàìè â ñå÷åíèÿõ, ãäå u = 0 (ðèñ. 1.21 â).
Ðèñ. 1.21
a
á
â
F
u
x
F
êð
Ëåêöèÿ 1                                                             23
ðàâíîâåñèÿ, õàðàêòåðèçóþ-
ùååñÿ äâóìÿ åãî ôîðìàìè,          F                 Fêð
íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèåé.
Íîâàÿ êðèâîëèíåéíàÿ ôîð-
ìà ðàâíîâåñèÿ ïðè F > Fêð
áóäåò óñòîé÷èâîé. Îäíàêî â                    u
ýòîì ñëó÷àå â ñòîéêå âîçíè-
êàþò íåäîïóñòèìî áîëüøèå
èçãèáû è íàïðÿæåíèÿ.
        Çàäà÷à î âûïó÷èâà-
íèè ñòåðæíÿ ïðè ïðîäîëü-
íîì ñæàòèè áûëà ðåøåíà â
XVIII âåêå âûäàþùèìñÿ
ìàòåìàòèêîì Ëåîíàðäîì                         x
                                a               á                 â
Ýéëåðîì. Ðàññ÷èòàåì, ñëå-
äóÿ Ýéëåðó, çíà÷åíèå êðè-                   Ðèñ.  1.21
òè÷åñêîé ñèëû Fêð è ôîðìó èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ, êîãäà ïîñëåäíèé øàðíèðíî
çàêðåïëåí çà îáà êîíöà (ðèñ. 1.21).
        Ôîðìà èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ u(x) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç óðàâíåíèÿ
(1.46), â êîòîðîì âìåñòî ìîìåíòà ïîïåðå÷íîé ñèëû F (l − x) äëÿ ïðîèçâîëü-
íîãî ñå÷åíèÿ x = const ñëåäóåò çàïèñàòü ìîìåíò ñäàâëèâàþùåé ñèëû â âèäå
M = F⋅u. Òîãäà óðàâíåíèå (1.46) ïðèìåò âèä:
                                   d2 u          F⋅u
                                        2
                                            =−       .             (1.57)
                                   dx            EJ
                     F
Åñëè îáîçíà÷èòü q 2 =   è îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî óðàâíåíèå (1.57)
                    EJ
àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, òî ìîæíî çàïèñàòü
                              u( x) = u 0 sin(qx + Φ) .            (1.58)
Èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ u(0) = 0 ñëåäóåò, ÷òî Φ = 0 . Èç äðóãîãî ãðàíè÷íîãî
óñëîâèÿ u(l) = 0 ñëåäóåò
                                     nπ
              sin ql = 0 ,   èëè     qn =;    n=1, 2, 3...        (1.59)
                                      l
Êàæäîìó çíà÷åíèþ qn ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ êîíôèãóðàöèÿ èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ,
ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñèíóñîèäó, èìåþùóþ n ïîëóâîëí. Ýòè êîíôèãóðàöèè
âîçíèêàþò ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ ñèë, ðàâíûõ
                                                  π 2 EJ
                                    Fn = n 2.                      (1.60)
                                        l2
Ïðè n = 1 ôîðìóëà (1.60) äàåò çíà÷åíèå êðèòè÷åñêîé ñèëû
                                                 π 2 EJ
                                     Fê ð =
                                         .                         (1.61)
                                     l2
Ýòà ôîðìóëà áûëà ïîëó÷åíà Ýéëåðîì è íîñèò åãî èìÿ.
       Äðóãèå èñêðèâëåííûå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ (n = 2, 3...) ÿâëÿþòñÿ íåóñ-
òîé÷èâûìè, îäíàêî îíè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû, åñëè ñòåðæåíü äîïîëíè-
òåëüíî çàêðåïèòü øàðíèðíûìè îïîðàìè â ñå÷åíèÿõ, ãäå u = 0 (ðèñ. 1.21 â).

Страницы