Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

29
Ëåêöèÿ 2
p(x+dx,y,z)dydz. Ïðè ðàâíîâåñèè êóáèêà,
î÷åâèäíî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü
ðàâåíñòâî:
p(x,y,z)dydz  p(x+dx,y,z)dydz +
+ F
x
dxdydz = 0. (2.4à)
Àíàëîãè÷íûå ïî ñìûñëó ðàâåíñòâà äîëæíû áûòü
çàïèñàíû è ïî äâóì îñòàëüíûì îñÿì êîîðäèíàò:
p(x,y,z)dxdz  p(x,y+dy,z)dxdz +
+ F
y
dxdydz = 0; (2.4á)
p(x,y,z)dxdy p(x,y,z+dz)dxdy +
+ F
z
dxdydz = 0. (2.4â)
Ðàçäåëèâ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè çàïèñàííûõ âûøå ðàâåíñòâ íà ýëåìåíòàð-
íûé îáúåì, ïîëó÷àåì óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
−+=
∂
∂
p
x
F
x
0
;
−+=
∂
∂
p
y
F
y
0
;
−+=
∂
∂
p
z
F
z
0
. (2.5)
Èç óðàâíåíèé (2.5) ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è èçìåíÿ-
åòñÿ â òåõ íàïðàâëåíèÿõ, ïî êîòîðûì äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà. Åñëè ââåñòè
âåêòîð ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ
zyx
z
p
y
p
x
p
=p= pgrad
eee
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∇
, (2.6)
ãäå e
x
, e
y
è e
z
- åäèíè÷íûå âåêòîðû âäîëü îñåé êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèÿ (2.5)
ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîì âåêòîðíîì âèäå:
−=grad p + F 0
. (2.7)
 ñîîòâåòñòâèè ñî ñìûñëîì ââåäåííîãî â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ âåêòîðà
ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû èç (2.7) ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå íàèáîëåå áû-
ñòðî íàðàñòàåò â íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿ âíåøíåé ñèëû F, à â ïåðïåíäèêóëÿð-
íûõ íàïðàâëåíèÿõ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î
ïîâåðõíîñòÿõ ðàâíîãî äàâëåíèÿ, íîðìàëü ê êîòîðûì â êàæäîé òî÷êå ñîâïàäà-
åò ñ íàïðàâëåíèåì ïðèëîæåííîé â ýòîé òî÷êå âíåøíåé ñèëû. Íåñëîæíî ðàñ-
ñ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ïî îáúåìó æèäêîñòè, åñëè ïðèíÿòü âî âíè-
ìàíèå, ÷òî êîìïîíåíòû âíåøíåé ñèëû F âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå
ñêàëÿðíîé ôóíêöèè êîîðäèíàò p(x,y,z). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëà F - ïîòåíöè-
àëüíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ïîòåíöèàëüíóþ ôóíê-
öèþ U (ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ åäèíèöû îáúåìà æèäêîñòè âî âíåøíåì ïîëå)
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
F =−grad U
. (2.8)
Ïîäñòàâèâ (2.8) â (2.7), ïîëó÷èì
()
grad p + U
=
0
, èëè p + U = const. (2.9)
Êîíñòàíòà â (2.9) îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ïîòåíöèàëà.
Æèäêîñòü â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.
Ïóñòü íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü (íàïðèìåð, âîäà) íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèë
òÿæåñòè, gF ρ= , ïëîòíîñòü æèäêîñòè
const=ρ
. Äëÿ ðàñ÷åòà ðàñïðåäåëåíèÿ
äàâëåíèé óäîáíî íàïðàâèòü îñü x âäîëü ñèëû òÿæåñòè, ñîâìåñòèâ íà÷àëî îñè
Ðèñ. 2.2
dz
z
dy
y
dx
x
F dV
Ëåêöèÿ 2                                                                 29
p(x+dx,y,z)dydz. Ïðè ðàâíîâåñèè êóáèêà,             x
î÷åâèäíî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü
                                                                dz
ðàâåíñòâî:                                                dy
      p(x,y,z)dydz – p(x+dx,y,z)dydz +
               + Fxdxdydz = 0.          (2.4à)          dx
Àíàëîãè÷íûå ïî ñìûñëó ðàâåíñòâà äîëæíû áûòü
çàïèñàíû è ïî äâóì îñòàëüíûì îñÿì êîîðäèíàò:                             z
      p(x,y,z)dxdz – p(x,y+dy,z)dxdz +
                + Fydxdydz = 0;         (2.4á)                      F dV
                                               y
       p(x,y,z)dxdy– p(x,y,z+dz)dxdy +                     Ðèñ. 2.2
               + Fzdxdydz = 0.          (2.4â)
       Ðàçäåëèâ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè çàïèñàííûõ âûøå ðàâåíñòâ íà ýëåìåíòàð-
íûé îáúåì, ïîëó÷àåì óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
                 ∂p                 ∂p               ∂p
               −    + Fx = 0 ;    −    + Fy = 0 ;  −     + Fz = 0 .  (2.5)
                 ∂x                 ∂y                ∂z
Èç óðàâíåíèé (2.5) ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è èçìåíÿ-
åòñÿ â òåõ íàïðàâëåíèÿõ, ïî êîòîðûì äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà. Åñëè ââåñòè
âåêòîð ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ
                                             ∂p      ∂p      ∂p
                         grad p = ∇p =          ex +    ey +    ez ,    (2.6)
                                             ∂x      ∂y      ∂z
ãäå ex, ey è ez - åäèíè÷íûå âåêòîðû âäîëü îñåé êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèÿ (2.5)
ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîì âåêòîðíîì âèäå:
                                     − grad p + F = 0 .                (2.7)
         Â ñîîòâåòñòâèè ñî ñìûñëîì ââåäåííîãî â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ âåêòîðà
ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû èç (2.7) ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå íàèáîëåå áû-
ñòðî íàðàñòàåò â íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿ âíåøíåé ñèëû F, à â ïåðïåíäèêóëÿð-
íûõ íàïðàâëåíèÿõ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î
ïîâåðõíîñòÿõ ðàâíîãî äàâëåíèÿ, íîðìàëü ê êîòîðûì â êàæäîé òî÷êå ñîâïàäà-
åò ñ íàïðàâëåíèåì ïðèëîæåííîé â ýòîé òî÷êå âíåøíåé ñèëû. Íåñëîæíî ðàñ-
ñ÷èòàòü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ïî îáúåìó æèäêîñòè, åñëè ïðèíÿòü âî âíè-
ìàíèå, ÷òî êîìïîíåíòû âíåøíåé ñèëû F âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå
ñêàëÿðíîé ôóíêöèè êîîðäèíàò p(x,y,z). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëà F - ïîòåíöè-
àëüíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ïîòåíöèàëüíóþ ôóíê-
öèþ U (ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ åäèíèöû îáúåìà æèäêîñòè âî âíåøíåì ïîëå)
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                        F = −grad U .                  (2.8)
Ïîäñòàâèâ (2.8) â (2.7), ïîëó÷èì
                      grad ( p + U ) = 0 ,     èëè     p + U = const.   (2.9)
Êîíñòàíòà â (2.9) îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ïîòåíöèàëà.

       Æèäêîñòü â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.
       Ïóñòü íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü (íàïðèìåð, âîäà) íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèë
òÿæåñòè, F = ρg , ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ = const . Äëÿ ðàñ÷åòà ðàñïðåäåëåíèÿ
äàâëåíèé óäîáíî íàïðàâèòü îñü x âäîëü ñèëû òÿæåñòè, ñîâìåñòèâ íà÷àëî îñè

Страницы