Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè. Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå gx)x(U ρ−= (íîðìèðîâêà ïîòåíöèàëà òàêîâà, ÷òî
U(0)=0), òî ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ïî ãëóáèíå îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
px gx const()−=ρ . (2.10)
Êîíñòàíòà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà äàâëåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè âîäû
àòìîñôåðíîìó äàâëåíèþ p
0
. Ñëåäîâàòåëüíî,
gxp)x(p
0
ρ+= . (2.11)
Åñëè ïðèíÿòü àòìîñôåðíîå äàâëåíèå
5
0
10p
≈
Ïà, ïëîòíîñòü âîäû
ρ=10
3
êã/ì
3
, òî èç (2.11) ëåãêî ïîäñ÷èòàòü,
÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû íà êàæ-
äûå 10 ìåòðîâ (
∆x
= 10 ì) äàâëåíèå
óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó àòìîñ-
ôåðíîãî äàâëåíèÿ
()
0
pp
=∆
. Âàæíî
îòìåòèòü, ÷òî âîçðàñòàíèå äàâëåíèÿ
ñ ãëóáèíîé íå çàâèñèò îò ôîðìû ñî-
ñóäà, â êîòîðûé íàëèòà æèäêîñòü. ßð-
êîé èëëþñòðàöèåé ñïðàâåäëèâîñòè
ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäèíà-
êîâîñòü óðîâíåé æèäêîñòè â äâóõ ñî-
îáùàþùèõñÿ ñîñóäàõ ïðîèçâîëüíîé
ôîðìû (ðèñ. 2.3). Äåéñòâèòåëüíî, ðà-
âåíñòâî äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ ñèë äàâ-
ëåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèõ ðàâíîâåñèå
êóáèêà æèäêîñòè â íèæíåé ÷àñòè ñî-
îáùàþùèõñÿ ñîñóäîâ, âîçìîæíî
ëèøü ïðè ðàâåíñòâå âûñîò ñòîëáîâ
âîäû â îáîèõ ñîñóäàõ.
Ìîäèôèöèðóåì ýêñïåðèìåíò
ñ ñîîáùàþùèìèñÿ ñîñóäàìè. Ïóñòü îáà
êîëåíà U-îáðàçíîãî ñîñóäà (ðèñ. 2.4)
ðàçäåëåíû ïîäâèæíîé ïåðåãîðîäêîé
Ï, ïðè ýòîì ïðàâîå êîëåíî çàïîëíå-
íî âîäîé, à ëåâîå - ðòóòüþ, ïëîòíîñòü
êîòîðîé
1
ρ áîëåå ÷åì â 10 ðàç ïðåâû-
øàåò ïëîòíîñòü âîäû
ρ
(ρ
1
= 13,6ρ).
Î÷åâèäíî, ðàâíîâåñèå â ýòîé ñèòóà-
öèè äîñòèãàåòñÿ ïðè âûñîòå ñòîëáà
ðòóòè
hh
1
1
ρ
ρ
=
, çíà÷èòåëüíî ìåíü-
øåé âûñîòû h ñòîëáà âîäû. Óìåñòíî
ïîìíèòü, ÷òî ñòîëá ðòóòè âûñîòîé
h
1
= 760 ìì óðàâíîâåøèâàåò äàâëåíèå
äåñÿòèìåòðîâîãî ñòîëáà âîäû, èëè ïî-
÷òè äåñÿòèêèëîìåòðîâîãî ñòîëáà àò-
h
p
1
0
Ðèñ. 2.3
Ðèñ. 2.4
Ðèñ. 2.5
h
h
Ï
ρ
ρ
1
1
30                                      Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè. Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå U( x ) = −ρgx (íîðìèðîâêà ïîòåíöèàëà òàêîâà, ÷òî
U(0)=0), òî ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ïî ãëóáèíå îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
                                   p( x ) − ρgx = const .          (2.10)
Êîíñòàíòà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà äàâëåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè âîäû
àòìîñôåðíîìó äàâëåíèþ p0. Ñëåäîâàòåëüíî,
                                p( x ) = p 0 + ρgx .               (2.11)
                                       Åñëè ïðèíÿòü àòìîñôåðíîå äàâëåíèå
                                                                         3
                                     p 0 ≈ 10 5 Ïà, ïëîòíîñòü âîäû ρ = 10
                                     êã/ì3, òî èç (2.11) ëåãêî ïîäñ÷èòàòü,
                                     ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû íà êàæ-
                                     äûå 10 ìåòðîâ ( ∆x = 10 ì) äàâëåíèå
                                     óâåëè÷èâàåòñÿ íà âåëè÷èíó àòìîñ-
                                     ôåðíîãî äàâëåíèÿ (∆p = p 0 ) . Âàæíî
                                     îòìåòèòü, ÷òî âîçðàñòàíèå äàâëåíèÿ
                                     ñ ãëóáèíîé íå çàâèñèò îò ôîðìû ñî-
               Ðèñ. 2.3              ñóäà, â êîòîðûé íàëèòà æèäêîñòü. ßð-
                                     êîé èëëþñòðàöèåé ñïðàâåäëèâîñòè
                                     ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäèíà-
                                h    êîâîñòü óðîâíåé æèäêîñòè â äâóõ ñî-
                                     îáùàþùèõñÿ ñîñóäàõ ïðîèçâîëüíîé
                                     ôîðìû (ðèñ. 2.3). Äåéñòâèòåëüíî, ðà-
                           ρ         âåíñòâî äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ ñèë äàâ-
h1              Ï                    ëåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèõ ðàâíîâåñèå
       ρ1                            êóáèêà æèäêîñòè â íèæíåé ÷àñòè ñî-
                                     îáùàþùèõñÿ ñîñóäîâ, âîçìîæíî
              Ðèñ. 2.4               ëèøü ïðè ðàâåíñòâå âûñîò ñòîëáîâ
                                     âîäû â îáîèõ ñîñóäàõ.
                                             Ìîäèôèöèðóåì ýêñïåðèìåíò
                                     ñ ñîîáùàþùèìèñÿ ñîñóäàìè. Ïóñòü îáà
                                     êîëåíà U-îáðàçíîãî ñîñóäà (ðèñ. 2.4)
                                     ðàçäåëåíû ïîäâèæíîé ïåðåãîðîäêîé
                                     Ï, ïðè ýòîì ïðàâîå êîëåíî çàïîëíå-
                                     íî âîäîé, à ëåâîå - ðòóòüþ, ïëîòíîñòü
                                     êîòîðîé ρ1 áîëåå ÷åì â 10 ðàç ïðåâû-
h1                                   øàåò ïëîòíîñòü âîäû ρ (ρ1 = 13,6ρ).
                                     Î÷åâèäíî, ðàâíîâåñèå â ýòîé ñèòóà-
                                     öèè äîñòèãàåòñÿ ïðè âûñîòå ñòîëáà

                          p0         ðòóòè h 1 =
                                                   ρ
                                                   ρ1
                                                      h , çíà÷èòåëüíî ìåíü-

                                     øåé âûñîòû h ñòîëáà âîäû. Óìåñòíî
                                     ïîìíèòü, ÷òî ñòîëá ðòóòè âûñîòîé
                                     h1= 760 ìì óðàâíîâåøèâàåò äàâëåíèå
                                     äåñÿòèìåòðîâîãî ñòîëáà âîäû, èëè ïî-
               Ðèñ. 2.5
                                     ÷òè äåñÿòèêèëîìåòðîâîãî ñòîëáà àò-

Страницы