Механика сплошных сред. Алешкевич В.А - 32 стр.

32                                                Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä
                  ω                                  1
                                                       ρω2 r 2 + const , (2.15)
                                            U( x, r ) = −ρgx −
                                                     2
H                         r     ãäå r – ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ. Òîãäà
                                ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì
                  0             (2.9) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì
                                                          1
                                                            ρω 2 r 2 .
                                              p( x, r) = p 0 + ρgx +   (2.16)
                                                          2
                                       Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîâåðõíîñòè ðàâíî-
                                ãî äàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïàðàáîëîèäàìè âðàùå-
                                íèÿ.  ÷àñòíîñòè, ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè, äëÿ
             x                  êîòîðîé p(x,r) = p0, îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
          Ðèñ. 2.7                          1 ω2 2
                                 x=−            r .                      (2.17)
                                            2 g
Åñëè ðàäèóñ ñîñóäà ðàâåí R, òî ðàçíîñòü óðîâíåé íà ïåðèôåðèè è â åãî
öåíòðå ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó
                                          ω2 R 2   v2
                                H=               =    ,                  (2.18)
                                           2g      2g
ãäå v – ñêîðîñòü âðàùàþùèõñÿ ÷àñòèö æèäêîñòè, ïðèëåãàþùèõ ê ñòåíêå ñîñóäà.
        Çàìå÷àíèå. Åñëè ñîñóä âðàùàòü ñ óãëîâûì óñêîðåíèåì, òî ïîÿâèòñÿ
äîïîëíèòåëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèë èíåðöèè, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ðàäèóñó è
              dω
ðàâíàÿ Fè′ = ρr  . Ýòà ñèëà íå áóäåò ïîòåíöèàëüíîé, ïîñêîëüêó åå ðàáîòà,
              dt
íàïðèìåð, âäîëü îêðóæíîñòè ðàäèóñà r0 îòëè÷íà îò íóëÿ è ðàâíà
                                             dω
                           A è = Fè′ ⋅ 2 πr0 = 2 πr02ρ
                                                .                (2.19)
                                             dt
      Â ñèëó ýòîãî ðàâíîâåñèå æèäêîñòè íåâîçìîæíî: ïîñëåäíÿÿ áóäåò âðà-
ùàòüñÿ îòíîñèòåëüíî öèëèíäðà, ïðè÷åì ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé è äàâëå-
íèé ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè, â êîòîðûõ
äîëæíû áûòü ó÷òåíû ñèëû âÿçêîñòè.

      Ïëàâàíèå òåë. Çàêîí Àðõèìåäà.
      Èç ïîâñåäíåâíîé ïðàêòèêè èçâåñòíî, ÷òî íà òåëà, ïîãðóæåííûå â
æèäêîñòü, äåéñòâóåò âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, íàïðàâëåííàÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ.
Ýòà ñèëà ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ ñèë äàâëåíèÿ f i = − pn i ðèñ. (2.8) è
ðàâíà
                              FA =   ∑ f i ∆S i   = −∑ p i ∆S i n i .    (2.20)
                                      i

Çäåñü ∆S i – ïëîùàäü ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè òåëà, n i – åäèíè÷íûé âåêòîð,
ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïîâåðõíîñòè, ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì ýëå-
ìåíòàì ïîâåðõíîñòè.
       Âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà FA, íàçûâàåìàÿ ñèëîé Àðõèìåäà, ìîæåò áûòü
ïîäñ÷èòàíà ïðè ó÷åòå ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ ïî ãëóáèíå (2.11) è îêàçû-
âàåòñÿ ðàâíîé âåñó âûòåñíåííîé æèäêîñòè. Ïðåäîñòàâëÿÿ ÷èòàòåëþ ñäåëàòü