Задачи по квантовой механике. Пособие по курсу "Квантовая механика". Часть 3. Алмалиев А.Н - 48 стр.

UptoLike

ˆ
V
12
E
(1s)
2
=
ZZ
Ψ
(0)
(1s)
2
(r
1
, r
2
)
ˆ
V
12
Ψ
(0)
(1s)
2
(r
1
, r
2
) d
3
r
1
d
3
r
2
,
Ψ
(0)
(1s)
2
ˆ
V
12
E
(1s)
2
=
Z
6
e
2
π
2
a
6
0
ZZ
|r
1
r
2
|
1
e
2Z
a
0
(r
1
+r
2
)
d
3
r
1
d
3
r
2
.
|r
1
r
2
|
1
=
X
L=0
L
X
M=L
4π
2L + 1
r
L
<
r
L+1
>
Y
LM
(θ
1
, ϕ
1
) Y
LM
(θ
2
, ϕ
2
),
r
<
= min(r
1
, r
2
) r
>
= max(r
1
, r
2
)
4π Y
00
(θ
1
, ϕ
1
) Y
00
(θ
2
, ϕ
2
) 1,
E
(1s)
2
=
16Z
6
e
2
a
6
0
X
LM
1
2L + 1
ZZ
r
L
<
r
L+1
>
e
2Z
a
0
(r
1
+r
2
)
r
2
1
r
2
2
dr
1
dr
2
×
×
Z
Y
LM
(θ
1
, ϕ
1
) Y
00
(θ
1
, ϕ
1
) dΩ
1
| {z }
δ
L0
δ
M0
Z
Y
00
(θ
2
, ϕ
2
) Y
LM
(θ
2
, ϕ
2
) dΩ
2
| {z }
δ
L0
δ
M0
=
=
16Z
6
e
2
a
6
0
ZZ
0
1
r
>
e
2Z
a
0
(r
1
+r
2
)
r
2
1
r
2
2
dr
1
dr
2
t
1,2
=
2Z
a
0
r
1,2
E
(1s)
2
=
1
2
ZE
a
ZZ
0
1
t
>
e
(t
1
+t
2
)
t
2
1
t
2
2
dt
1
dt
2
.
   �������� ������� ������� � �������� ��� ������� �� ������ ��������
�� �������� �������� ������� ��������������� �������������� V̂ �
��������� ������
                                                                                                            12


                                 ��
                                           (0)∗                    (0)
            ΔE(1s)2 =                   Ψ(1s)2 (r 1 , r 2 )V̂12 Ψ(1s)2 (r 1 , r 2 ) d3 r1 d3 r2 ,

��� ����� ����������� ������ ���� ������� Ψ                                   (0)
                                                                              (1s)2   � ��������� V̂   12
                                            ��
              ΔE(1s)2
                                 Z 6 e2
                                = 2 6
                                 π a0
                                                               �����     2Z
                                                  |r 1 − r 2 |−1 e− a0 (r1 +r2 ) d3 r1 d3 r2 .

�������� � ��������� ����� ������ ��������� � �������������� �������
���� �����������
                           ∞ L
                                                                                                        ������
                           � �         4π     L
                                             r<
   |r 1 − r 2 |   −1
                       =                          ∗
                                                 YLM (θ1 , ϕ1 ) YLM (θ2 , ϕ2 ),
                                     2L + 1 r>
                                             L+1
                           L=0 M =−L

��� r = min(r , r )� r = max(r , r )� ������������ ���������� ������
�������� �������������� �� ������ ���������� ������ � ����� � ������
     <                 1    2       >                1    2


������� ����� � ��������������� ������� ���������
                                    4π Y00 (θ1 , ϕ1 ) Y00
                                                        ∗
                                                          (θ2 , ϕ2 ) ≡ 1,
���������
                                 ��
             16Z 6 e2 � 1                L
                                        r<    − 2Z
                                                a0 (r1 +r2 ) 2 2
  ΔE(1s)2 =                                 e               r1 r2 dr1 dr2 ×
                6
               a0         2L + 1      r>
                                        L+1
                      LM
       �                                �
    × YLM (θ1 , ϕ1 ) Y00 (θ1 , ϕ1 ) dΩ1 Y00
           ∗                                ∗
                                              (θ2 , ϕ2 ) YLM (θ2 , ϕ2 ) dΩ2 =
       �               ��             ��                 ��                �
                                δL0 δM 0                                      δL0 δM 0
                                                          � �∞
                                           =
                                             16Z 6 e2
                                               a60
                                                                   1 − 2Z
                                                                  r>
                                                                     e a0 (r1 +r2 ) r12 r22 dr1 dr2     ������
                                                              0

��� �������������� � ������ �� ����� �� ��������������� ��������� ���
������������� ����������� �������� ��� ���������� ����������� ���
������� � ������ ������� ������ ���������� t = r � ����� ����                            2Z

��������� ��� �������� � ������� ������ ���
                                                                              1,2        a0   1,2


                                                   � �∞
                       ΔE(1s)2
                                       1
                                      = ZEa
                                       2
                                                           1 −(t1 +t2 ) 2 2
                                                          t>
                                                             e         t1 t2 dt1 dt2 .                  ������
                                                    0


                                                          ��