Элементы теории множеств. Аминова А.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 3
1. Семейства. Последовательности.
Пусть заданы множество E и множество I, которое мы
будем называть множеством индексов. Пусть также задано
отображение множества индексов I в E: i → x
i
.
Определение 8. Множество, состоящее из x
i
, где i ∈ I,
обозначается
(x
i
)
i∈I
или (x
i
)
и называется семейством элементов из E, снабженных ин-
дексами из I.
Семейство (x
i
) можно рассматривать как отображение мно-
жества I в E.
Определение 9. Последовательностью (x
n
) элементов
из E называется отображение множества N натуральных чи-
сел в множество E.
Последовательность записывают также в виде
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . . ,
x
n
называют n-м членом (или n-м элементом) последова-
тельности, или членом (элементом) с номером n.
Пусть (x
n
) – некоторая последовательность элементов из E
и (n
k
) – строго возрастающая последовательность натураль-
ных чисел, т. е. строго возрастающее отображение
4
множества
N в N: k → n
k
, n
k
< n
k+1
.
Последовательность (y
k
)
k∈N
, определенная равенством y
k
=
x
n
k
, k = 1, 2, . . . , называется подпоследовательностью после-
довательности (x
n
).
Примеры.
1
◦
. Вещественная числовая последовательность – это отоб-
ражение множества N натуральных чисел в множество R ве-
щественных чисел.
4
См. лекцию 4, п. 3.
28
                                                               ЛЕКЦИЯ 3
                1. Семейства. Последовательности.
   Пусть заданы множество E и множество I, которое мы
будем называть множеством индексов. Пусть также задано
отображение множества индексов I в E: i → xi .
   Определение 8. Множество, состоящее из xi , где i ∈ I,
обозначается
                    (xi )i∈I или (xi )
и называется семейством элементов из E, снабженных ин-
дексами из I.
   Семейство (xi ) можно рассматривать как отображение мно-
жества I в E.
   Определение 9. Последовательностью (xn ) элементов
из E называется отображение множества N натуральных чи-
сел в множество E.
   Последовательность записывают также в виде
                            x1 , x 2 , . . . , x n , . . . ,
xn называют n-м членом (или n-м элементом) последова-
тельности, или членом (элементом) с номером n.
   Пусть (xn ) – некоторая последовательность элементов из E
и (nk ) – строго возрастающая последовательность натураль-
ных чисел, т. е. строго возрастающее отображение4 множества
N в N: k → nk , nk < nk+1 .
   Последовательность (yk )k∈N , определенная равенством yk =
xnk , k = 1, 2, . . . , называется подпоследовательностью после-
довательности (xn ).
   Примеры.
   1◦ . Вещественная числовая последовательность – это отоб-
ражение множества N натуральных чисел в множество R ве-
щественных чисел.
  4
      См. лекцию 4, п. 3.

                                          28

Страницы